1.5. Производящие функции и рекуррентные соотношения.

С каждой числовой последовательностью можно связать степенной рядкоторый называется производящей функцией для последовательности. Если рядсходится в некоторой окрестности нуля, он является рядом Маклорена для функции. Поэтому знание производящей функции позволяет восстановить исходную последовательность:

.

Полезно знать производящие функции для простейших последовательностей.

Пусть .

Тогда .

Это есть хорошо известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Почленным дифференцированием из нее получаем, что производящая функция для есть

С помощью k – кратного дифференцирования можно получить и более общую формулу

.

Полезно также следующие непосредственно проверяемое тождество

Чтобы продемонстрировать возможности метода производящих функций для решения задач перечисления, рассмотрим задачу из раздела 1.3., решенную там с помощью формулы включения и исключения, и решим её методом производящих функций.

Пусть требуется найти число целочисленных решений системы

Легко понять, что искомое число решений есть коэффициент при после раскрытия скобок в выражении

Более обще, можно сказать, что выписанное выражение является производящей функцией для числа решений системы

т.к. при любом целом коэффициент приравен числу решений. Найдем коэффициент при.

.

В коэффициент при дают вклад значения. Поэтому число решений равно

.

Теперь рассмотрим более интересный пример. Пусть требуется найти число С_n двоичных последовательностей длины n, не содержащих двух единиц подряд. Имеем C₁=2, C₂=3. Положим С₀=1.

Разобьем искомое множество последовательностей на 2 подмножества: последовательности, начинающиеся с 0, и последовательности, начинающиеся с 1. Последовательности первого типа не имеют каких-либо дополнительных ограничений на последующие символов. Поэтому их. Последовательности второго типа на второй позиции обязана содержать 0, а на последующиесимволов нет каких-либо ограничений, поэтому их. Это приводит к соотношению

,

которое называется рекуррентным, т.к. выражает -ый член через значения предыдущих членов. Вместе с начальными даннымиионо позволяет найти любой член последовательности. Для получения формулы-го члена в явном виде домножим обе части рекуррентного соотношения наxⁿ и просуммируем по от 2 до ∞ .

Это позволяет для производящей функции

получить соотношение

Разрешая это соотношение относительно получаем

Разлагаем данное рациональное выражение на простейшие дроби

, где ,;

;

Подставляя , получаем

Подставляя , получаем

Отсюда находим

Данная последовательность называется последовательностью Фибоначчи, по имени впервые рассмотревшего её итальянского математика 13 века.

Тест.

1. Найти -ый член последовательности, заданной рекуррентно,. а) 7+3ⁿ; б) 8ⁿ; в) 7+2ⁿ.

2. Найти -ый член последовательности, заданной рекуррентно,. а); б); в) 2ⁿ.

3. Найти ииз системы рекуррентных соотношений,. а); б)в).

1.6. Перечисление в присутствии группы. Лемма Бернсайда и теорема Пойа.

Рассмотрим задачу о числе раскрасок граней куба в 3 цвета: белый (white), синий (blue) и красный (red). Так как есть три возможности для раскраски каждой из 6 граней, то всего раскрасок 3⁶=729. Далее, можно найти число раскрасок, использующих i раз белый, j раз синий и k раз красный цвет (i+j+k=6). Для этого достаточно раскрыть с помощью полиномиальной формулы

.

При этом фактически каждой грани куба ставится в соответствие скобка , и выбор цвета при раскраске грани соответствует выбору буквы при раскрытии скобок. Таким образом, раскрасок, использующихi раз белый, j раз синий и k раз красный цвет, имеется

.

Эти формулы, однако, справедливы лишь в том случае, если все грани куба различны, другими словами, куб занимает определенное положение в пространстве. Если же куб можно поворачивать, самосовмещая его, то различные раскраски могут переходить друг в друга, совмещаться. При этом естественно считать совместимые раскраски одинаковыми и ставить задачу нахождения числа различных раскрасок. На математическом языке это можно выразить следующим образом. Группа самосовмещающих вращений куба действует как группа перестановок на множестве из 3ⁿ раскрашенных кубов. Совместимость различных раскрасок является отношением эквивалентности. Классы эквивалентности принято называть в данном случае орбитами. Таким образом, требуется найти число орбит, а также число орбит, раскраски которых используют заданное число раз каждый из цветов.

Сформулируем общий результат о числе орбит, возникающих при действии группы на конечном множестве, выражаемый леммой Бернсайда. Пусть группа G действует на конечном множестве Х, элементы которого будем называть точками. Результат действия элемента группы на точкубудем обозначать через, т.е. писать точку в скобках слева от действующего на нее элемента группы. Точкуназовем стационарной для элемента, если. ЧерезX_g обозначим множество стационарных для точек.и- число элементов множестваи группы.

Лемма Бернсайда. Число орбит N при действии группы G на конечном множестве точек X равно среднему по группе числу стационарных точек

.

Доказательство. Пусть - одна из орбит при действииG на X. Пусть A_i – множество элементов таких, что,. Тогдагде- стабилизатор точки, т.е. такая подгруппа группыG, элементы которой оставляют на месте точку , а– произвольный фиксированный элемент множества. В самом деле, ясно что. Докажем обратное включение. Пусть, т.е.. Тогда, т.к.. Поэтому. Этим доказывается, что,т.е.. Таким образом.,- множество смежных классов по стабилизатору. По теореме Лагранжа

;

;

Такую же мощность имеют и стабилизаторы остальных точек орбиты

, .

Поэтому .

Рассмотрим теперь двудольный граф, одну долю которого составляют элементы группы G, другую – точки множества X. Ребро () проводится в таком и только в том случае, если точкаявляется стационарной для элемента.

Подсчитаем теперь число ребер графа двумя способами: с верхней доли и с нижней доли. С верхней доли подсчет дает

.

С нижней доли подсчет дает

.

Если последнюю сумму разбить по орбитам, то вклад каждой орбиты по доказанному ранее будет равен . Поэтому вся сумма будет равна, гдеN - число орбит. Имеем

.

Откуда

.

Лемма доказана.

Вернемся теперь к задаче о раскраске граней куба. С этой целью рассмотрим группу самосовмещающих вращений куба. Так как куб можно поставить на стол любой из 6 своих граней и при этом имеется ещё 4 самосовмещающих положения, то эта группа содержит элемента, а именно:

1. Тождественное вращение.

2. 3 нетождественных вращения вокруг каждой из 3 осей, соединяющих середины противоположных граней, - итого 9 вращений.

3. 2 нетождественных вращения вокруг каждой из 4 осей, соединяющих противоположные вершины, - итого 8 вращений.

4. 1 нетождественное вращение вокруг каждой из 6 осей, соединяющих середины противоположных ребер, - итого 6 вращений.

Выпишем циклическую структуру каждого из вращений как перестановки на множестве 6 граней.

1. Тождественное вращение оставляет каждую из 6 граней на месте. Запишем это как (6 циклов длины 1).

2. Эти вращения по циклической структуре разбиваются на 2 класса: вращения на 180⁰ и вращения на 90⁰. Первые имеют циклическую структуру (2 цикла длина 1 и 2 цикла длины 2 ), вторые -(2 цикла длины 1 и 1 цикл длины 4).

3. Эти вращения имеют циклическую структуру (2 цикла длины 3).

4. Это вращение имеет циклическую структуру (3 цикла длины 2).

Просуммировав циклические структуры всех перестановок и поделив сумму на число элементов в группе, получим так называемый цикловой индекс группы

.

Зная цикловой индекс группы самосовмещений куба и опираясь на лемму Бернсайда, легко найти число орбит действия этой группы на множестве 3⁶ раскрасок. Основным здесь является следующее наблюдение. Для данной перестановки граней куба раскраска будет стационарной в том и только в том случае, если грани , принадлежащие одному циклу, выкрашены в один цвет. Поэтому, если циклическая структура перестановкиg есть и используются 3 цвета, то

.

Таким образом, для того, чтобы найти число орбит N достаточно согласно лемме Бернсайда в цикловой индекс вместо каждой из переменных подставить число 3:

.

А для того , чтобы найти число орбит, раскраски которых используют i раз белый, j раз синий и k раз красный цвет, нужно в цикловой индекс вместо каждой переменной подставитьи, раскрыв скобки в выражении

, найти коэффициент при . Это и составляет содержание теоремы Пойа. Доказательство повторяет доказательство леммы Бернсайда. Нужно лишь ребрам, отходящим от раскрасок типа, приписать веса, также равные, и просуммировать веса ребер двумя способами.

В качестве примера найдем число раскрасок, использующих каждый цвет дважды. Коэффициент, получающийся при после раскрытия скобок в выражении

равен

,

что и дает число искомых раскрасок.

Тест

1. Цикловой индекс группы самосовмещающих вращений тетраэдра, действующей на множестве его 4 граней, равен а) ; б); в);

2. Число различных раскрасок граней тетраэдра в 2 цвета с учетом самосовмещений равно а) 5; б) 7; в) 4.

3. Число различных раскрасок граней тетраэдра в 2 цвета, использующих каждый цвет дважды, с учетом самосовмещений равно а) 1; б) 2; в) 3.