- •Федеральное агентство по образованию
- •Глава I. Перечислительная комбинаторика 5
- •Глава II.Графы и алгоритмы 21
- •Глава III. Кодирование 45
- •Глава I. Перечислительная комбинаторика.
- •1.1. Перестановки, размещения, сочетания и разбиения.
- •1.2. Полиномиальная формула и формула бинома.
- •1.3. Формула включения и исключения.
- •1.4. Приложения к теории вероятностей.
- •1.5. Производящие функции и рекуррентные соотношения.
- •1.6. Перечисление в присутствии группы. Лемма Бернсайда и теорема Пойа.
- •Глава II. Графы и алгоритмы.
- •2.1. Основные понятия теории графов.
- •2.2. Алгоритмы в дискретной математике.
- •2.3. Минимальное остовное дерево.
- •2.4. Кратчайший путь между двумя вершинами.
- •2.5. Задача коммивояжера. Метод «ветвей и границ».
- •2.6. Паросочетания в двудольных графах.
- •2.7. Потоки в сетях.
- •Глава III. Кодирование
- •3.1. Основные задачи теории кодирования.
- •3.2. Помехоустойчивое кодирование.
- •Криптография.
- •Согласно Малой теореме Ферма в поле для любогоимеем.
Федеральное агентство по образованию
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЕНИЯ
(образован в 1953 году)
Кафедра физики и высшей математики
Дистанционное обучение |
|
Физ. мат. – 7.21.230102 зчн. скр. Физ. мат. – 7.21.230102 очн. плн. Физ. мат. – 7.21.230102 зчн. плн.
|
Ю.А. Зуев
Лекции
по дискретной математике
Для студентов специальности 230102
всех форм обучения
www.msta.ru
Москва - 2004
УДК 519.8
Зуев Ю.А. Дискретная математика. – Лекции. М., МГУТУ, 2004.
В лекциях доктора физико – математических наук профессора Зуева Ю.А. изложены основные разделы дискретной математики: перечислительная комбинаторика, теория графов и алгоритмов на графах, помехоустойчивое кодирование и криптография. Каждый раздел заключают тесты, позволяющие контролировать степень усвоения материала. Тесты снабжены ответами. Представлен словарь основных терминов.
Курс лекций предназначен для студентов специальностей 230102 всех форм обучения.
Автор: д.ф. – м.н. Зуев Юрий Анатольевич
Рецензент: д. ф. – м.н. Кузюрин Н.Н.
Редактор: Свешникова Н.И.
Московский государственный университет технологий и управления, 2004.
109004, Москва, Земляной вал, 73.
Содержание
Стр.
Введение 4
Глава I. Перечислительная комбинаторика 5
Перестановки, размещения, сочетания и разбиения 5
Формула бинома и полиномиальная формула 7
Формула включения и исключения 9
Приложения к теории вероятностей 11
Производящие функции и рекуррентные соотношения 14
Перечисление в присутствии группы. Лемма Бернсайда и
теорема Пойа 17
Глава II.Графы и алгоритмы 21
2.1. Основные понятия теории графов 21
2.2. Алгоритмы в дискретной математике 23
2.3. Минимальное остовное дерево 25
2.4. Кратчайший путь между двумя вершинами 27
2.5. Задача коммивояжера. Метод «ветвей и границ» 29
2.6. Паросочетания в двудольных графах 35
2.7. Потоки в сетях 39
Глава III. Кодирование 45
3.1. Основные задачи теории кодирования 45
3.2. Помехоустойчивое кодирование 46
3.3. Криптография 49
Итоговый тест 56
Рекомендуемая литература 57
Словарь основных терминов 58
Ответы к тестам 59
Введение.
Бурно развивавшаяся на протяжении XX века дискретная математика заняла в последнее десятилетие важное место в общем курсе математической подготовки студентов технических вузов и университетов. Владение её элементами стало обязательной составной частью математического образования инженеров, экономистов, специалистов по вычислительной технике. Причина возросшего спроса на дискретную математику заключается в бурном развитии вычислительной техники, расширившем возможности работы с дискретными структурами, что привело к качественным изменениям в математических методах решения прикладных задач в целом ряде областей человеческой деятельности.
В то же время изучение дискретной математики может вызвать определенную трудность у лиц, чьё математическое образование базируется исключительно на классическом математическом анализе. Цельность математического анализа обеспечивается единым подходом к решению широкого круга задач, основанным на использовании производной и первообразной – понятий, существенно использующих свойства континуума. В дискретной математике, занимающейся изучением конечных и счетных множеств, подобного единства не достигнуто. Она распадается на множество разделов со своими собственными задачами и методами, овладение которыми требует определенной математической культуры, умственного напряжения и упорства. Аппарат современной алгебры широко используется в дискретной математике.
В лекциях представлено ядро сложившегося к настоящему времени курса дискретной математики, рассматриваются её важнейшие теоретические и прикладные вопросы. Изложение весьма сжатое. Цель курса – дать общее представление о задачах и методах дискретной математики, познакомить с основными структурами и алгоритмами, показать их прикладное значение, а также привить навыки самостоятельной работы. Рассматриваются задачи перечисления, графы и алгоритмы на графах, помехоустойчивое кодирование и криптография.
Предполагается, что лица, приступающие к изучению данного курса, уже знакомы с такими основными понятиями алгебры как группы, кольца, поля и линейные пространства. Примеры этих алгебраических структур неоднократно встречаются на протяжении курса. Необходимые для понимания современной криптографии сведения из теории чисел сообщаются по ходу изложения. Изучение рассмотренных в курсе алгоритмов на графах целесообразно закрепить самостоятельным составлением соответствующих программ для компьютера на языках высокого уровня.