1.2. Полиномиальная формула и формула бинома.

Пусть требуется вычислить выражение , т.е. перемноживn скобок, привести его к виду

Числа называются полиномиальными коэффициентами. Найдем эти числа. В соответствии с правилами алгебры из каждой скобки выбирается один из символов и они перемножаются. Коэффициенты получаются в результате приведения подобных членов в полученной таким образом сумме произведений. Таким образом коэффициентравен числу последовательностей длиныn, составленных из символов , причем символиспользуетсяраз. В соответствии с 1.1 число таких последовательностей равно. Это дает полиномиальную формулу:.

В частном случае, когда в n- ую степень возводится двучлен, она используется наиболее часто и называется биномом Ньютона

Из школьного курса математики известны частные случаи этой формулы при n=2 и n=3.

Приведем важнейшие тождества для биномиальных коэффициентов

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Тождество 1 уже известно. Тождество 2 можно получить с помощью следующего рассуждения. Выделим в - элементном множестве один из элементов. Каждое- элементное подмножество либо содержит, либо не содержит выделенный элемент. Подмножеств первого типа, второго -.

Третье и четвертое тождества следуют, как это показано, из формулы бинома, причем третье тождество выражает тот факт, что n- элементное множество имеет 2ⁿ подмножеств. Пятое тождество получим, если рассмотрим разбиение - элементного множества на- элементное и- элементное. Шестое тождество следует из пятого, если положить.

Отметим, что биномиальные коэффициенты растут поi от 0 до [i/2] и убывают от ] i/2 [ до n. При n- четном максимальный коэффициент один -, приn- нечетном максимальных коэффициентов два - и.

При больших n биномиальные коэффициенты могут быть оценены с помощью асимптотической формулы Стирлинга

, .

Тест

1. Коэффициент при в разложении (x₁+x₂+x₃)¹⁰ равен а) 10³; б) ; в).

2. Коэффициент при а³b³с⁴ в разложении равен а)12; б) 24; в) 18.

3. Коэффициент при t¹⁷ в разложении равен а); б) 0; в).

1.3. Формула включения и исключения.

Чтобы найти мощность объединения двух множеств нужно из суммы их мощностей вычесть мощность их пересечения. При этом каждый элемент объединения будет посчитан ровно один раз.

.

Аналогичная формула имеет место для трех множеств.

Она справедлива и в общем случае

Докажем эту формулу, называемую формулой включения и исключения. Пусть элемент x входит ровно в k подмножеств . Вклад, который дает этот элемент в правую часть, равен

,

как это следует из тождества 4 для биномиальных коэффициентов (п. 1.2.). Поэтому в правой части будет полное число элементов, что и доказывает формулу.

В практических задачах часто имеется некоторое множество U и система его подмножеств U₁,…,U_m. Требуется найти число элементов множества U, не принадлежащих ни одному из множеств U₁,…,U_m . В этом случае формула включения и исключения выглядит следующим образом

.

Рассмотрим пример. В группе, состоящей из 20 человек, 6 знают немецкий, 7 – французский и 8 – английский язык, 3 человека знают немецкий и французский, 4 – немецкий и английский, 5 – французский и английский и один человек знает все 3 языка. Сколько человек не знают ни одного иностранного языка?

Решение : 20-(6+7+8)+(3+4+5)-1=10.

Другой пример. Пусть требуется найти число целочисленных решений системы

Введем новые переменные ,,. Система перепишется в виде

Пусть U – множество решений системы

U₁ – множество решений системы

U₂ – множество решений системы

U₃ – множество решений системы

согласно п. 1.1.

Чтобы найти мощность множества U₁, достаточно в соответствующей системе сделать замену . Это дает

Аналогично, ,

Далее, легко видеть, что

, ,

Поэтому в соответствии с формулой включения и исключения число решений исходной системы равно

В качестве ещё одного примера рассмотрим известную задачу о беспорядках. Требуется найти число перестановок чисел 1,2,…,n, в которых никакое число i не стоит на i – ом месте. Всего перестановок . Перестановок, в которых числоi стоит на i – ом месте, Перестановок, в которых два различных числаi и j стоят на своих местах, и т.д. По формуле включения и исключения имеем

Отметим, что выражение в скобках с ростом стремится к.

Тест.

1. В группе 25 студентов. Среди них 20 сдали сессию успешно, 12 занимаются в спортивных секциях, причем 10 из них сдали сессии успешно. Сколько неуспевающих студентов не посещают спортивных секций а) 3; б) 5; в) 10.

2. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на одно из чисел 3,5,7? а) 455; б) 457; в) 459.

3. Сколько натуральных чисел, не превосходящих 1000, не делятся ни на одно из чисел 6,10,15? а) 730; б) 732; в) 734.

4. Сколькими способами можно раздать 12 одинаковых монет 5 нищим так, чтобы каждый получил не менее одной, но не более 3 монет? а) 10; б) 20; в) 30.