2.6. Паросочетания в двудольных графах.

Подмножество М ребер графа G=(V,E) называется паросочетанием, если никакие два ребра из М не имеют общей вершины. Паросочетание называется наибольшим, если оно содержит максимально возможное число ребер. Если наибольшее паросочетание покрывает все вершины графа, то оно называется совершенным. Задача о паросочетании состоит в нахождении наибольшего паросочетания.

Особенно часто она возникает для двудольных графов, множество вершин которых разбивается на 2 непересекающихся подмножества и, а любое ребро имеет одним своим концом вершину из, а другим – из. Задача имеет многочисленные интерпретации и приложения. Укажем некоторые из них.

Если - множество юношей,- множество девушек, желающих вступить в брак, а ребро в графе соответствует взаимному согласию к вступлению в брак, то задача о паросочетаниях является задачей о заключении максимального числа счастливых браков.

Если - множество лиц, желающих получить работу,- множество вакантных мест, и ребро в графе обозначает способность определенного лица выполнить данную работу, то задача о паросочетании становится задачей о трудоустройстве.

Множество может быть также множеством подмножеств некоторого множества, а- множеством элементов этого же множества. Ребро в этом случае соответствует вхождению элемента в подмножество. Тогда задача о паросочетании становится задачей о выборе различных представителей. Пусть, например, в Думе имеется ряд комитетов, причем член Думы может состоять в нескольких комитетах, но возглавлять не более одного. Тогда задачу выбора председателя в каждом комитете можно рассматривать как задачу о системе различных представителей.

Универсальным подходом, позволяющим строить эффективные алгоритмы для задачи о паросочетании, является подход, основанный на идее чередующейся цепи. Пусть в графе имеется некоторое паросочетание. Если удастся найти цепь, первая и последняя вершина которой не покрыты паросочетанием, а ребра чередуются, попеременно то не входя, то входя в паросочетание, то мощность паросочетания можно нарастить на единицу. Для этого достаточно все ребра цепи, не входящие в паросочетание, включить в него, а все входящие в паросочетание ребра – исключить из паросочетания.

Следующий рисунок, где жирно отмеченные ребра принадлежат паросочетанию, иллюстрирует принцип чередующейся цепи.

Замечательно, что верно и обратное. Если паросочетание не является наибольшим, то всегда найдется чередующаяся цепь, позволяющая его нарастить. Пусть – не наибольшее паросочетание, т.е. существует паросочетаниетакое, что. Рассмотрим подграфграфа, образованный ребрами, входящими ровно в одно из паросочетанийили. Степень любой вершины графане превышает двух. Поэтому каждая компонента связности является циклом или цепью, в которых чередуются ребра двух паросочетаний. Поэтому все циклы имеют четную длину и содержат одинаковые число ребер каждого из паросочетаний. А так как, то должна найтись чередующаяся цепь, имеющая больше ребер из паросочетания, которая и позволяет нарастить паросочетание.

Рассмотрим метод чередующейся цепи на примере двудольного графа

Заданное паросочетание является максимальным в том смысле, что к нему нельзя добавить ни одного ребра. Является ли оно наибольшим? Не покрыты паросочетанием две вершины графа и. Они находятся в разных долях, но не соединены ребром. Попытаемся найти чередующийся путь изв. Таким путем является например,. Альтернируя ребра пути, получаем паросочетание, имеющее на одно ребро больше. Оно является совершенным и поэтому наибольшим.

Поиск чередующегося пути занимает в двудольном графе операций. Для построения наибольшего паросочетания его нужно применитьраз. Поэтому трудоемкость построения наибольшего паросочетания методом чередующейся цепи естьопераций.

Обратимся теперь к задаче о системе различных представителей и укажем критерий её существования. Пусть - система подмножеств конечного множества. Ясно, что необходимым условием существования системы различных представителей является, а также, чтобы объединение любыхm подмножеств имело мощность не менееm. Оказывается, что это условие является и достаточным.

Теорема. (Hall, 1935). Для существования системы различных представителей для системы подмножеств конечного множества необходимо и достаточно, чтобы для любыхm подмножеств выполнялось условие

Доказательство. Необходимость очевидна. Для доказательства достаточности воспользуемся интерпретацией системы подмножеств в виде двудольного графа, верхняя доля которого соответствует подмножествам, а нижняя – элементам. Будем последовательно произвольно выбирать представителей для подмножеств до тех пор, пока дойдя до подмножестване окажется, что все его элементы уже использованы в качестве представителей.

Обозначим через - множество вершин, смежных с вершиной,. Поднявшись по ребрам паросочетания из множества, получим, множество вершин верхней доли,. Из множества, опустившись по всем ребрам графа, получим множество,. Поднявшись из множествапо ребрам паросочетания получим множествои т.д. Каждый раз имеем. Поэтому априори возможны два исхода. Либо на некотором шагемножествовыйдет за пределымножества , либо стабилизируется, оставшись в пределах множества , т.е. будет иметь место . В первом случае возникает чередующаяся цепь, паросочетание наращивается на единицу, и подмножество получает своего представителя. Во втором случае получается, что множество подмножествимеет в совокупности число элементов, равное числу подмножеств. Если к множеству подмножествдобавить множество, то суммарное число элементов в них не изменится и будет на единицу меньше числа подмножеств, что противоречит условию теоремы. Поэтому этот случай невозможен, и мощность паросочетания можно нарастить наl, и все подмножества получат своих представителей.

Следствие. Регулярный двудольный граф имеет совершенное паросочетание.

Доказательство. Интерпретируя граф как систему подмножеств, покажем, что для нее выполнены условия теоремы Холла, и стало быть, существует система различных представителей, определяющая в графе совершенное паросочетание.

Нужно показать, что для любых m вершин верхней доли графа (подмножеств) для числа смежных им вершин нижней доли (элементов) справедливо неравенство. Для этого подсчитаем число соединяющих их ребер двумя способами: сверху и снизу. Если степень графа равна 2, то число этих ребер равно, как показывает их подсчет сверху. С другой стороны, это число равно, где- число ребер из выделенного множества, отходящих от каждой извершин нижней доли. Имеем

,

а так как ,, то отсюда следует, что.

Сходным приемом может быть доказана имеющая важное значение в дискретной математике так называемая лемма Шпернера о максимально возможном числе попарно несравниваемых подмножеств данного конечного множества, т.е. таких подмножеств, что ни для какой пары из них не имеет место отношение включения.

Теорема. (Sperner, 1928). Максимальное число попарно несравнимых подмножеств n – элементного множества равно . Примаксимальная система подмножеств единственна – это система всехk – элементных подмножеств. При максимальных систем две – система всехk – элементных подмножеств и система всех k+1 – элементных подмножеств.

Доказательство. Пусть . Допустим, что имеется некоторая система попарно несравнимых подмножеств, некоторые из которых имеют мощность, отличную отk. Покажем, что она не может быть максимальной. Пусть, например, минимальная мощность подмножеств системы равна . Для каждого подмножества мощностирассмотримсодержащих его подмножеств мощности. Покажем, что полное число таких подмножеств больше числа имеющихся в системе подмножеств мощности.

Рассмотрим двудольный граф , долями которого являются рассматриваемые подмножества мощностии,а ребрами являются отношения включения подмножеств. От каждой вершины долиотходитребер, а от каждой вершины доли- не болееребер. Так как, то, подсчитывая число ребер двумя способами, получаем.

Заменяя в системе несравнимых подмножеств подмножества на подмножества, получаем систему из большего числа несравнимых подмножеств. Таким же образом показывается, что максимальная система несравнимых подмножеств не может содержать и подмножеств мощности, большей чемk. Аналогично рассматривается случай .

Тест

1. Что называется чередующейся цепью? а) цепь, содержащая хотя бы одно ребро паросочетания; б) цепь, содержащая попеременно ребра, входящие и не входящие в паросочетание; в) цепь, начинающаяся и заканчивающаяся вершинами, не покрытыми паросочетанием, и содержащая попеременно ребра, входящие и не входящие в паросочетание.

2. Трудоемкость решения задачи о паросочетании в двудольном графе равна: а) ; б); в).

3. Регулярный двудольный граф а) всегда имеет совершенное паросочетание; б) никогда не имеет совершенного паросочетания; в) может иметь, а может и не иметь совершенное паросочетание.