2.2 Получение опорного плана грузоперевозок

Для составления исходного плана перевозов используем метод северо-западного угла:

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
	B1	B2	B3	B4
A1	2 40	3 20	5	1	60
A2	3	4 10	9 30	4 30	70
A3	2	5	2	5 20	20
Потребности	40	30	30	50	150

Стоимость перевозок по этому плану

2.3 Получение оптимального плана грузоперевозок

Вычислим потенциалы и , исходя из базисных переменных. Для их нахождения используем условие .

,

Полагая, например, , найдем:

Для каждой свободной клетки вычислим относительные оценки:

Условие оптимальности плана перевозок не выполняется, поэтому построим замкнутый цикл пересчета и определим величины перераспределения груза.

Определим новое базисное решение.

Минимальной разностью является для клетки (3, 3). Отрицательная оценка показывает, что при включении в данную свободную клетку каждой единицы груза общая стоимость уменьшается на 8 единицы. Для определения количества груза , подлежащего распределению, построим замкнутый цикл (указан пунктиром в таблице). Одна из вершин цикла находится в незанятой клетке (3, 3), которую отмечаем знаком «плюс». Все остальные вершины цикла находятся в базисных клетках, с чередующимися знаками «минус» и «плюс».

	Пункты	B1	B2	B3	B4	Запасы
	A1	2 40	3 20	5	1	60
	A2	3	4 10	9 – 30	4 + 30	70
	A3	2	5	2 +	5 – 20	20
	Потребности	40	30	30	50	150

Найдем значение , равное наименьшему из чисел, стоящих в отрицательных вершинах цикла. Значение записываем в незанятую клетку. Двигаясь далее по означенному циклу, вычитаем из объемов перевозок, расположенных в клетках, которые обозначены знаком «минус», и прибавляем к объемам перевозок, находящихся в клетках, отмеченных знаком «плюс». Элементы таблицы, не входящие в цикл, остаются без изменений. В результате получаем новую таблицу:

	Пункты	B1	B2	B3	B4	Запасы
	A1	2 40	3 – 20	5 +	1	60
	A2	3	4 + 10	9 – 10	4 50	70
	A3	2	5	2 20	5	20
	Потребности	40	30	30	50	150

Стоимость перевозок по этому плану

Исследуем базисное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы и , исходя из базисных переменных:

,

Полагая, например, , найдем:

,
,
,

Для каждой свободной клетки вычислим относительные оценки:

Условие оптимальности плана перевозок не выполняется, так как одна из оценок отрицательна.

Определим новое базисное решение.

Построим замкнутый цикл пересчета для свободной клетки (1, 3), для которой не выполняется неравенство, и перераспределим поставки согласно этому означенному циклу, аналогично п.3.

В клетку (1, 3) поместим груз .

После преобразований получаем новый план перевозок:

	Пункты	B1	B2	B3	B4	Запасы
	A1	2 40	3 – 10	5 10	1 +	60
	A2	3	4 + 20	9	4 – 50	70
	A3	2	5	2 20	5	20
	Потребности	40	30	30	50	150

Стоимость перевозок по этому плану

Исследуем базисное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы и , исходя из базисных переменных:

,

,

.

Полагая, например, , найдем:

,
,
,

Для каждой свободной клетки вычислим относительные оценки:

Условие оптимальности плана перевозок не выполняется, так как одна из оценок отрицательна.

Определим новое базисное решение.

Построим замкнутый цикл пересчета для свободной клетки (1, 4), для которой не выполняется неравенство, и перераспределим поставки согласно этому означенному циклу, аналогично п.3.

В клетку (1, 4) поместим груз .

После преобразований получаем новый план перевозок:

	Пункты	B1	B2	B3	B4	Запасы
	A1	2 – 40	3	5 10	1 + 10	60
	A2	3 +	4 30	9	4 – 40	70
	A3	2	5	2 20	5	20
	Потребности	40	30	30	50	150

Стоимость перевозок по этому плану

Исследуем базисное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы и , исходя из базисных переменных:

,

,

Полагая, например, , найдем:

,
,
,

Для каждой свободной клетки вычислим относительные оценки:

Условие оптимальности плана перевозок не выполняется, так как одна из оценок отрицательна.

Определим новое базисное решение.

Построим замкнутый цикл пересчета для свободной клетки (2, 1), для которой не выполняется неравенство, и перераспределим поставки согласно этому означенному циклу, аналогично п.3.

В клетку (2, 1) поместим груз .

После преобразований получаем новый план перевозок:

	Пункты	B1	B2	B3	B4	Запасы
	A1	2	3	5 10	1 50	60
	A2	3 40	4 30	9	4 0	70
	A3	2	5	2 20	5	20
	Потребности	40	30	30	50	150

Стоимость перевозок по этому плану

Исследуем базисное решение на оптимальность.

Вычислим потенциалы и , исходя из базисных переменных:

,

,

,

Полагая, например, , найдем:

,
,
,

Для каждой свободной клетки вычислим относительные оценки:

Так как для всех свободных клеток таблицы неравенство выполняется, то полученное решение

будет оптимальным. При этом значение целевой функции будет:

Таким образом, получен следующий план перевозок:

из пункта A₁ в пункт B₃ необходимо перевезти 10 ед. груза,

из пункта A₁ в пункт B₄ необходимо перевезти 50 ед. груза,

из пункта A₂ в пункт B₁ необходимо перевезти 40 ед. груза,

из пункта A₂ в пункт B₂ необходимо перевезти 30 ед. груза,

из пункта A₃ в пункт B₃ необходимо перевезти 20 ед. груза,

При таком плане перевозок затраты на перевозку будут наименьшими и составят 380 ден.ед.

3 РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ НАДСТРОЙКИ EXCEL «ПОИСК РЕШЕНИЯ»

Несмотря на то, что в закрытой транспортной задаче ограничения имеют вид уравнений, при решении задачи программой Excel «Поиск решения» их следует представить в виде неравенств, так как использование уравнений создает для программы слишком жесткие условия и решение может быть не найдено. При выборе знаков неравенств следует исходить из предположений, что с каждого пункта отправления груза можно вывести не больше, чем там имеется, а потребитель может получить груза не меньше, чем ему требуется. Таким образом, ограничения задачи примут вид:

,

.

При таком подходе практически все грузы будут перевезены и все потребности удовлетворены.