1 Транспортная задача как частный случай задачи линейного программирования

1.1 Постановка транспортной задачи

Одной из распространенных задач линейного программирования является транспортная задача, в которой существуют поставщики и потребители некоторого однородного груза. У каждого поставщика имеется определенное количество единиц этого груза (мощность поставщика).

Каждому потребителю нужно некоторое количество единиц этого груза (спрос потребителя). Известны затраты на перевозку единицы груза от каждого из поставщиков к каждому из потребителей.

Нужно составить такой план перевозок от поставщиков к потребителям, при котором:

1. суммарные затраты на перевозку груза будут минимальны;

2. по возможности будут задействованы все мощности поставщиков;

3. по возможности будет удовлетворен весь спрос потребителей.

В общей постановке транспортная задача состоит в отыскании оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления , , …, в количествах , , …, п потребителям

, , …, в количествах , , …, . Известны стоимости перевозок единицы груза из А_i пункта отправления в B_j пункт назначения.

Обозначим общее количество имеющегося в наличии груза

,

а потребности в грузе –

.

В зависимости от значений a и b различают два типа транспортных задач:

Если a = b, имеем закрытую модель, или модель, удовлетворяющую условию баланса. В этой модели суммарный объем груза у поставщиков (суммарная мощность поставщиков) равен суммарному спросу потребителей.

Если – открытую модель или модель с нарушенным балансом. Здесь различают два случая.

Транспортная задача с избытком: – суммарные запасы груза у поставщиков превышают суммарный спрос потребителей.

Транспортная задача с недостатком: – суммарные запасы груза у поставщиков меньше суммарного спроса потребителей.

Для решения открытых транспортных задач приходится прибегать к искусственным приемам, позволяющим свести их к закрытым задачам. Следовательно, в процессе решения открытая модель всегда сводится к закрытой. Поэтому вначале рассмотрим закрытую модель.

Сформулируем закрытую транспортную задачу в общем виде.

Обозначим через количество единиц груза, перевозимого из пункта в пункт . Тогда условие задачи можно записать в виде таблицы:

Пункты отправления	Пункты назначения				Запасы
Потребности					a = b

Математически задачу можно сформулировать следующим образом. Определить переменные ,которые минимизируют суммарную стоимость перевозок

и удовлетворяют системе ограничений:

1. – с каждого пункта отправления груз должен быть вывезен полностью;

2. – потребитель должен получить ровно столько, сколько ему требуется;

3. 

Остановимся на решении закрытой транспортной задачи. Порядок решения для закрытой модели:

1. составляем специальную таблицу;

2. находим первоначальный план поставок (далее будут рассмотрены методы северо-западного угла и минимальной стоимости);

3. оптимизируем его распределительным методом.

Решение состоит в переходе от одного распределения поставок к другому. Каждое новое распределение поставок должно снижать или по крайней мере не увеличивать общую величину затрат на перевозки. Перераспределение поставок должно осуществляться до тех пор, пока не будет найдено оптимальное распределение поставок.