Chapter 1
Number Sets
=
=
=
=
1.1 Set Identities
=
pЙнлW=^I=_I=`= rебоЙкл~д=лЙнW=f= `згйдЙгЙен=W= ^′= mкзйЙк=лмДлЙнW= ^ _ == bгйну=лЙнW= = rебзе=зС=лЙнлW= ^ _ = fенЙклЙЕнбзе=зС=лЙнлW= ^ ∩_ = aбССЙкЙеЕЙ=зС=лЙнлW= ^ y _ =
=
=
1.^ f =
=
2.^ ^ =
=
3.^ =_ =áÑ= ^ _ =~åÇ= _ ^ .=
=
4.bãéíó=pÉí=
^ =
=
5.råáçå=çÑ=pÉíë==
` = ^ _ ={ñ ö ñ ^ çê ñ _}=
=
1
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=====
=
=
Figure 1.
=
6.`зггмн~нбобну=
^ _ =_ ^ =
= |
|
|
|
7. |
^ллзЕб~нбобну= |
(^ _) ` = |
|
|
^ (_ `)= |
|
|
= |
|
|
|
8. |
fенЙклЙЕнбзе=зС=pЙнл= |
|
|
|
` = ^ _ ={ñ ö ñ ^ ~åÇ ñ _}= |
= |
|
|
= |
|
|
|
===== |
|
= |
|
= |
|
|
Figure 2.
=
9.`зггмн~нбобну=
^ ∩_ =_ ∩^ =
=
10.^ллзЕб~нбобну=
^∩(_ ∩`)=(^ ∩_)∩` =
=
2
CHAPTER 1. NUMBER SETS
11.aблнкбДмнбобну=
^(_ ∩`)=(^ _)∩(^ `)I=
^∩(_ `)=(^ ∩_) (^ ∩`)K=
=
12.fЗЙгйзнЙеЕу=
^∩^ = ^ I==
^^ = ^ =
=
13.açãáå~íáçå=
^∩ = I=
^f =f =
=
14.fЗЙенбну=
^= ^ I==
^∩f = ^
=
15.`згйдЙгЙен=
^′={ñ f ö ñ ^}
=
16.`згйдЙгЙен=зС=fенЙклЙЕнбзе=~еЗ=rебзе
^^′=f I==
^∩^′= =
=
17.aÉ=jçêÖ~å∞ë=i~ïë (^ _)′ = ^′∩_′I==
(^ ∩_)′ = ^′ _′=
=
18.aбССЙкЙеЕЙ=зС=pЙнл
` =_ y ^ ={ñ ö ñ _ ~åÇ ñ ^}=
=
3
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=====
=
=
Figure 3.
=
19._ y ^ =_ y (^ ∩_)
=
20._ y ^ =_ ∩^′
=
21.^ y ^ =
=
22. ^ y _ = ^ =áÑ= ^ ∩_ = .
=
=====
=
=
Figure 4.
23.=(^ y _)∩` =(^ ∩`)y (_ ∩`)
24.^′=f y ^
25.`~кнЙлб~е=mкзЗмЕн
` = ^ ×_ ={(ñI ó )ö ñ ^ ~åÇ ó _}
=
=
4
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.2 Sets of Numbers
=
k~нмк~д=емгДЙклW=k= tЬздЙ=емгДЙклW= kM =
fенЙЦЙклW=w= mзлбнбоЙ=бенЙЦЙклW= w+ = kЙЦ~нбоЙ=бенЙЦЙклW= w− = o~нбзе~д=емгДЙклW=n= oЙ~д=емгДЙклW=o== `згйдЙс=емгДЙклW=`==
=
=
26.k~нмк~д=kмгДЙкл `зменбеЦ=емгДЙклW k ={NI OI PI K}K=
27.tЬздЙ=kмгДЙкл
`зменбеЦ=емгДЙкл=~еЗ=тЙкзW= kM ={MI NI OI PI K}K=
=
28.fенЙЦЙкл
tЬздЙ=емгДЙкл=~еЗ=нЬЙбк=зййзлбнЙл=~еЗ=тЙкзW= w+ = k ={NI OI PI K}I=
w− ={KI −PI −OI −N}I=
w = w− {M} w+ ={KI −PI −OI −NI MI NI OI PI K}K=
=
29.o~нбзе~д=kмгДЙкл
oЙйЙ~нбеЦ=зк=нЙкгбе~нбеЦ=ЗЙЕбг~длW==
|
~ |
|
n = ñ ö ñ = |
|
~åÇ ~ w ~åÇ Ä w ~åÇ Ä ≠ M K= |
|
||
|
Ä |
|
=
30.fкк~нбзе~д=kмгДЙкл
kзекЙйЙ~нбеЦ=~еЗ=езенЙкгбе~нбеЦ=ЗЙЕбг~длK
=
5
CHAPTER 1. NUMBER SETS
31.oЙ~д=kмгДЙкл==
rебзе=зС=к~нбзе~д=~еЗ=бкк~нбзе~д=емгДЙклW=oK=
=
32.`згйдЙс=kмгДЙкл
` ={ñ +áó ö ñ o ~åÇ ó o}I==
пЬЙкЙ=б=бл=нЬЙ=бг~Цбе~ку=мебнK
=
33. k w n o ` =
=
===
=
=
Figure 5.
=
=
=
=
=
=
6
CHAPTER 1. NUMBER SETS
1.3 Basic Identities
=
oЙ~д=емгДЙклW=~I=ДI=Е=
=
=
34.^ЗЗбнбоЙ=fЗЙенбну= ~ +M =~ =
=
35.^ЗЗбнбоЙ=fеоЙклЙ= ~ +(−~)=M =
=
36.`зггмн~нбоЙ=зС=^ЗЗбнбзе=
~ + Ä = Ä +~ =
=
37.^ллзЕб~нбоЙ=зС=^ЗЗбнбзе= (~ +Ä)+Å =~ +(Ä +Å)=
=
38.aЙСбебнбзе=зС=pмДнк~Енбзе= ~ −Ä =~ +(−Ä)=
=
39.jмднбйдбЕ~нбоЙ=fЗЙенбну= ~ N =~ =
=
40.jмднбйдбЕ~нбоЙ=fеоЙклЙ=
~~N =N I= ~ ≠ M
=
41.jмднбйдбЕ~нбзе=qбгЙл=M
~M =M
=
42.`зггмн~нбоЙ=зС=jмднбйдбЕ~нбзе=
~ Ä = Ä ~
=
=
7
CHAPTER 1. NUMBER SETS
43.^ллзЕб~нбоЙ=зС=jмднбйдбЕ~нбзе= (~ Ä) Å =~ (Ä Å)
=
44.aблнкбДмнбоЙ=i~п= ~(Ä +Å)=~Ä +~Å =
=
45.aЙСбебнбзе=зС=aбоблбзе=
Ä~ =~ ÄN =
=
=
=
1.4 Complex Numbers
=
k~нмк~д=емгДЙкW=е=
fã~Öáå~êó=ìåáíW=á=
`згйдЙс=емгДЙкW=т=
oÉ~ä=é~êíW=~I=Å=
fг~Цбе~ку=й~кнW=ДбI=Зб= jзЗмдмл=зС=~=ЕзгйдЙс=емгДЙкW=кI= кN I= êO = ^кЦмгЙен=зС=~=ЕзгйдЙс=емгДЙкW= ϕI= ϕN I= ϕO =
=
=
46. |
áN =á = |
áR =á = |
áQå+N =á = |
|
áO = −N = |
áS = −N = |
áQå+O = −N= |
|
áP = −á = |
áT = −á = |
áQå+P = −á = |
|
áQ =N= |
áU =N= |
áQå =N = |
= |
|
|
|
47.ò = ~ + Äá =
=
48.`згйдЙс=mд~еЙ=
=
8
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=====
=
=
Figure 6.
49.=(~ +Äá)+(Å +Çá)=(~ +Å)+(Ä +Ç)á =
=
50.(~ +Äá)−(Å +Çá)=(~ −Å)+(Ä −Ç)á =
=
51. (~ +Äá)(Å +Çá)=(~Å −ÄÇ)+(~Ç +ÄÅ)á =
=
52.~ +Äá = ~Å +ÄÇ + ÄÅ −~Ç á = Å +Çá ÅO +ÇO ÅO +ÇO
=
53.`зеамЦ~нЙ=`згйдЙс=kмгДЙкл=
|||||||
~ +Äá =~ −Äá =
=
54. ~ =ê Åçë ϕI= Ä =ê ëáå ϕ==
=
9
CHAPTER 1. NUMBER SETS
=
=
Figure 7.
=
55.mзд~к=mкЙлЙен~нбзе=зС=`згйдЙс=kмгДЙкл= ~ +Äá =ê(Åçë ϕ+á ëáå ϕ)=
=
56.jзЗмдмл=~еЗ=^кЦмгЙен=зС=~=`згйдЙс=kмгДЙк= fС= ~ + Дб =бл=~=ЕзгйдЙс=емгДЙкI=нЬЙе=
ê = ~O + ÄO =EгзЗмдмлFI==
ϕ=~êÅí~å Ä~ =E~кЦмгЙенFK=
=
57.mкзЗмЕн=бе=mзд~к=oЙйкЙлЙен~нбзе=
òN òO =êN (Åçë ϕN +á ëáå ϕN ) êO (Åçë ϕO +á ëáå ϕO )=
=[Åçë(ϕN +ϕO )+á ëáå(ϕN +ϕO )]=êNêO
=
58.`зеамЦ~нЙ=kмгДЙкл=бе=mзд~к=oЙйкЙлЙен~нбзе=
|||||||||||||||||||||
ê(Åçë ϕ+á ëáå ϕ)=ê[Åçë(−ϕ)+á ëáå(−ϕ)]=
=
59.fеоЙклЙ=зС=~=`згйдЙс=kмгДЙк=бе=mзд~к=oЙйкЙлЙен~нбзе=
N |
|
= |
N |
[Åçë(−ϕ)+á ëáå(−ϕ)]= |
ê(Åçë ϕ+á ëáå ϕ) |
|
|||
ê |
|
|||
10
CHAPTER 1. NUMBER SETS
60. nмзнбЙен=бе=mзд~к=oЙйкЙлЙен~нбзе= |
|
|
|
|
|||||||
|
òN |
= |
êN (Åçë ϕN +á ëáå ϕN ) |
|
= |
êN |
[Åçë(ϕ −ϕ |
|
)+á ëáå(ϕ −ϕ |
|
)]= |
|
|
êO (Åçë ϕO +á ëáå ϕO ) |
|
O |
O |
||||||
|
òO |
|
|
|
N |
N |
|
||||
|
|
|
êO |
|
|
|
|
||||
=
61.mзпЙк=зС=~=`згйдЙс=kмгДЙк=
òå =[ê(Åçë ϕ+á ëáå ϕ)]å =êå [Åçë(åϕ)+á ëáå(åϕ)]=
=
62.cзкгмд~=±aЙ=jзбокЙ≤=
(Åçë ϕ+á ëáå ϕ)å =Åçë(åϕ)+á ëáå(åϕ)=
=
63.kнЬ=oззн=зС=~=`згйдЙс=kмгДЙк=
å |
ò = å ê(Åçë ϕ+á ëáå ϕ)= |
å |
|
Åçë |
ϕ+Oπâ |
+á ëáå |
ϕ+Oπâ |
|
|
|
ê |
|
|
I== |
|||
|
|
|
|
|
å |
|
å |
|
пЬЙкЙ==
â =MI NI OI KI å −N K==
=
64.bмдЙк∞л=cзкгмд~=
Éáñ =Åçë ñ +á ëáå ñ =
=
=
11