Механика Статика Составная конструкция
.pdfvk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
1.СОСТАВНАЯ КОНСТРУКЦИЯ
За д а н и е. Найти опорные реакции составной конструкции, которая испытывает воздействие внешней нагрузки.
Пример 1.1: |
Дано: |
Р1 = 12 кН, |
Р2 = 18 кН, Q1 =2,5 кН/м, |
Q2 = 4 кН/м, М1 =10 |
кН·м, |
М2 = 21 кН·м, |
М3 = 32 кН·м (рис.1.1). |
Найти реакции заделки А и опор С, Е. Геометрические размеры указаны в метрах.
2 |
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1,2 |
|
|
|
|
|
|
|
Q1 |
|
|
|
Q2 |
М2 |
|
|
|
|
|
|
Е |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
60 |
о |
1,2 |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р1 |
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
||
М1 |
|
М3 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.1 |
|
|
|
Р е ш е н и е. Рассматриваемая конструкция является два раза статически неопределимой, т.к. число неизвестных реакций – 5 (3- в
заделке А и по одной в С и Е), а уравнений статики –три. Расчленим конструкцию на элементы, что даст возможность записать дополнительные уравнения равновесия.
Рассмотрим условия равновесия участка конструкции DЕ (рис.1.1.1):
∑ МD (Fi )= yE × 2 - q2 ×1×0,5 - M 2 = 0;
4
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
|
|
2 |
Y |
|
|
1 |
|
yE |
|
|
|
|
||
|
Q2 |
М2 |
YЕ |
|
XD |
|
|
||
= yE - q2 ×1 =11,5 |
- 4Е= 7,X5 |
|||
yD |
||||
D |
|
Рис. 1.1.1 |
|
|
|
YD |
|
||
|
|
|
= |
q2 ×1×0,5 + M 2 |
= |
4 ×1×0,5 + 21 |
=11,5 kН. |
|
|
|||
2 |
2 |
|
∑ YI = y E - y D - q2 ×1 = 0;
кН.
∑ X I = 0; xD = 0.
Рассмотрим условия равновесия участка конструкции ВDC (рис.1.1.2):
|
2 |
|
Y |
2 |
|
|
|
|
|
||
YB |
Q1 |
|
|
|
y′ |
|
|
|
D |
||
XB B |
60 |
о |
|
|
′ |
|
|
1,2 |
D x D |
||
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
YC
М3 1,5
С X
Рис.1.1.2
рис.1.1.2.
∑ МВ (Fi )= y′D × 4 + yC × 2 - q1 × 2 ×1 +
+ P SIN 60o ×1,2 - P COS 60o × 2 + M = 0;
2 2 3
yC = (- 4 y′D + q1 × 2 ×1 -1,2P2 SIN 60o +
+ 2P COS 60o - M )/ 2 =
2 3
= (- 4 ×7,5 + 2,5 ×1 -1,2 ×18 × 0,866 - -18 ×0,5 × 2 - 32)/ 2 = -28,85 кН.
Реакция YC направлена в противоположную сторону по отношению к обозначенной на
∑ |
X |
I |
= -x |
B |
- x¢ |
+ P SIN 60o = 0; |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
D |
|
2 |
|
|||||
x |
B |
= -x′ |
+ P SIN 60o = 0 +18 × 0,866 = 15,59 кН. |
|||||||||||
|
|
|
D |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
Y = y |
B |
|
+ y′ |
+ y |
C |
- 2q - P COS 60o = 0; |
||||||
∑ i |
|
|
|
|
D |
|
1 2 |
|
||||||
y |
B |
= - y′ |
|
- y |
+ q × 2 + P COS 60o |
= -7,5 - (- 37,85) + 25 × 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
C |
|
1 |
2 |
|
+18 × 0,5 = 35,35 кН.
Рассмотрим условие равновесия участка конструкции АВ рис.1.1.3):
|
|
( |
|
)= +М |
|
+ M |
|
- P ×0,8 -y′ |
× 2 - x′ |
× 2,7 = 0; |
|
∑ M |
A |
F |
p |
1 |
|||||||
|
|
i |
|
1 |
B |
B |
|
5
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
|
|
|
2 |
|
|
М p = -M1 + P1 × 0,8 + y′B × 2 + x′B × 2,7 = -10 + |
||||||||||||
|
|
|
1,2 |
|
|
+12 ×0,8 + 35,35 × 2 +15,59 × 2,7 =112,4 кН × м. |
||||||||||||
|
|
|
x′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Y = y |
|
- P - y¢ = 0; |
||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ I |
|
|
1 |
B |
||
|
|
|
y′ |
|
y |
A |
= P + y′ |
=12 + 35,35 = 47,35 кН. |
|
|||||||||
|
|
P1 |
|
|
|
|
1 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B |
|
∑ |
|
|
= -x |
|
+ x¢ = 0; x |
|
= x′ =15,59 кН. |
||||||
|
|
|
|
|
2,7 |
X |
I |
A |
A |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
B |
|
|||||
x |
yA |
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МP A
Рис. 1.1.3
Для проверки полученных результатов составим уравнения равновесия для всей конструкции (реакции промежуточных шарниров В и D при составлении уравнений не учитываются):
SY = y - P - q × 2 - P COS 60o - y - q ×1 + y = 0;
I A 1 1 2 C 2 E
47,35 -12 - 2,5 × 2 -18 × 0,5 - 28,85 - 4 ×1 +11,5 = 58,85 - 58,85 = 0.
SXI |
= -xA + P2 SIN 60o = 0; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
-15,59 +18 × 0,866 = -15,59 +15,59 = 0. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
∑ |
|
|
( |
|
) |
= М |
|
+ M |
|
- P × 0,8 - q × 2 × 3 - q |
|
×1× 6,5 - M |
|
+ |
|||||
M |
A |
F |
p |
1 |
2 |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|||||||
+ y |
E |
×8 - y |
C |
× 4 + M |
3 |
- P COS 60o |
× 4 - P SIN 60o ×1,5 = 0; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
112,4 +10 -12 × 0,8 - 2,5 × 2 × 3 - 4 ×1× 6,5 - 21 +11,5 ×8 - 28,85 × 4 +
+ 32 -18 × 0,5 × 4 -18 × 0,866 ×1,5 = 246,4 - 246,4 = 0.
6
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
Результаты расчета |
|
Таблица 1.1 |
|
|||
|
Момент |
|
|
Силы, кН |
|
|
|
в заделке |
|
|
|
|
|
|
MP, кН·м |
XA |
|
YA |
XC |
YE |
|
|
|
|
|
|
|
|
112,4 |
15,6 |
|
47,4 |
28,9 |
11,5 |
Варианты заданий на рис. 1.2-1.31 (нагрузки даны в табл. 1.2).
С
|
Рис.1.2 |
|
|
5 |
|
В |
Р1 |
D |
|
2 |
|
4 |
|
Q |
4 |
|
|
М |
|
Р2 |
А |
|
С |
|
|
|
|
|
8 |
Рис.1.3
7
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
8
3
А
М Q
Р1 C 45о В 2 1 1 D 2
Рис.1.4
2
Р2
3
М
А В
Е |
2,5 |
1,5 |
Q |
|
|
|
|
|
45о |
|
С |
|
|
|
|
Р2 |
|
|
4 |
|
Р2 |
|
30о |
|
|
|
|
|
Рис.1.5 |
|
2 |
D |
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
В |
D |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45о |
Р1 |
|
|
М |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
Q |
|
|
3 |
|
|
Р2 |
Р1 |
|
|
|
|
1 |
|
о |
|
|
|
|
А |
60 |
С |
|
|
|
|
|
|||
|
С |
|
|
|
8 |
|
Рис.1.6 |
Рис.1.7 |
8
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
Р1 |
|
|
9 |
|
|
|
|
60о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
D |
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
Р2 |
|
|
|
|
В |
|
|
|
М |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
60о |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис.1.8 |
|
|
|
|
||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Р1 |
|
|
|
|
|
|
А |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Р2 |
30о |
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
М |
Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
2 |
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
Рис.1.10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
М |
|
Е |
|
|
|
|
|
Р1 |
А |
|
|
0,8 |
|
|
|
||
60о |
|
|
1 |
|
В |
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
D |
45 |
о |
С |
|
|
Р2 |
||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
3 |
|
Рис.1.9
|
1 |
|
3 |
D |
Q |
|
С |
|
|
|
|
|
30 |
о |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
М |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Р1 |
|
|
|
1 А |
Рис.1.11
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
30о |
Р1 |
А |
|
|
В |
|
|
45о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|||||
|
|
|
Q |
|
|
60о |
60о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
Р2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
2 |
||
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,2 |
|
|
|
М1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.13 |
||
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45о |
Рис.1.12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Е |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
А |
|
|
|
Е |
α |
|
60о |
А |
|
|
|
|
60о |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
α |
2 |
|
В |
|
|
|
|
|
60о |
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
D |
1,5 |
|
|||
В |
|
|
1 D |
|
|
2 |
|
|
4 |
1,5 |
|||
2,5 |
1,5 |
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Рис.1.14 |
|
|
|
|
|
|
Рис.1.15 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
45о Р1 |
Q |
С D
2 |
2 |
|
|
|
|
М |
2 |
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
В |
|
|
|
Р2 |
45о |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.16 |
|
|
11 |
2 |
1 |
Р1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
С |
А |
D |
|
|
В |
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
2,5 |
|
|
|
Р2 Q 2,5
45о
Е
Рис.1.18
|
4 |
|
1 |
М |
|
2 |
|
Р2 |
|
|
|
|
||
А |
Q |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
Р1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
В |
|
|
|
|
2 |
|
|
Рис.1.17 |
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
4 |
|
Q |
|
|
С |
А |
D |
|
|
|
|
В |
М |
||
Р2 |
|
|
||
|
30о |
|
Р1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
Е |
|
|
1,8 |
1,2 |
|
|
|
Рис.1.19 |
|
11
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943
12
В D
|
|
|
|
1 |
Р1 |
|
|
|
Р1 |
60о |
|
|
|
|
В |
||
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
М |
4 |
3 |
3 |
1,5 |
|
|
|
3 |
Q |
М1 |
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
А |
С |
|
|
|
|
|
А |
С |
|
|
|
5 |
3 |
||
|
|
|
|
D |
Р2 |
|
1,5 |
|
3 |
|
Е |
|
Рис.1.20 |
|
|
|
|
А |
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1,5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Р1 |
Q |
Р2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
М |
60о |
1,5 |
В |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
Р1 |
|
|
|
|
|
1,5 |
|
|
|
30о |
С |
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
Рис.1.22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
Рис.1.21
2 |
Р2 |
1 |
|
Q |
|||
М |
|
||
С |
45о |
Е |
|
|
D |
2 |
|
|
2 |
Рис.1.23
vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 |
||||||
|
Р2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М |
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Р1 |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
Е |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
В |
5 |
|
1 |
1 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
|
|
Рис.1.24 |
|
|
||
А |
Р1 |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
2 |
М |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
45о |
С |
|
|
Р2 |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
60о |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.26 |
|
|
D |
|
Е |
|
3 |
|
2 |
4 |
1 |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
Е |
А |
α |
α |
|
1,5 |
|
Q |
|
|
|
|
|
Р2 |
|
Р1 |
4 |
|
|
|
||
α |
М |
|
D |
|
С |
|
|
||
|
|
|
||
|
3 |
2 |
1 |
1 |
Рис.1.25
D |
М |
Р2 |
С |
|
|
||
|
30о |
1,5 |
|
|
|
|
2 |
|
Q |
|
В |
|
|
|
1,5 |
Рис.1.27 |
|
Р1 |
|
|
1,5 |
||
|
|
А |
|
|
|
|