Стандартний аналіз флуктуацій

У стандартному аналізі флуктуацій (АФ) розглядається “профіль накопичень” (runoff profile)

,

(7)

і вивчається швидкість зміни флуктуацій профіля в залежності від зміни ширини вікна s ([2] Koscielny-Bunde E., Kantelhardt J., Braun P., Bunde A., Havlin S. Long-term persistence and multifractality of river runoff records: Detrended fluctuation studies, arXiv/physics/0305078v3 23 Jan 2004). Можна розглядати профіль як позицію точки у ланцюжку випадкових блукань після n кроків. Випадкові блукання починаються в деякій точці; на i-му кроці точка переміщується вправо, якщо є додатнім, або ж вліво, якщо – від’ємне.

Для знаходження зміни скейлінгового (масштабного) показника в залежності від s спочатку часовий ряд довжиною N елементів розбивається на підпослідовності, що не перекриваються, довжиною s, починаючи з першого елемента, та підпослідовностей, що не перекриваються, довжиною s, починаючи з останнього елемента. Потім визначаються флуктуації у кожному сегменті .

У стандартному АФ флуктуації обчислюють безпосередньо від значень профілю на обох кінцях кожної підпослідовності , і знаходиться середнє значення для підпослідовностей, щоб досягти реального значення флуктуації ,

.

(8)

За означенням, може розглядатись як середньоквадратичний зсув (переміщення) точки випадкових блукань в ланцюжку після s кроків. Для некорельованих значень отримується закон дифузії Фіка (Fick) . Для істотних випадків довгочасових кореляцій, де поведінка відповідає степеневому закону ( , ), збільшується теж згідно зі степеневим законом

,

де флуктуаційний коефіцієнт пов’язаний із кореляційним коефіцієнтом і коефіцієнтом спектра потужності наступним законом:

.

Для степеневих кореляцій, що спадають швидше за , отримуємо для великих значень s, так як і для некорельованих даних.

Варто зауважити, що стандартний аналіз флуктуацій де в чому подібний до R/S-аналізу, розробленого Херстом ([3] Федер, Фрактали, 1988), за виключенням того, що він базується на другому моменті , в той час як Херст розглядав випадок першого моменту . Для монофрактальних даних H ідентичний до коефіцієнта Херста.

Аналіз детрендованих флуктуацій (адф)

АДФ базується на гіпотезі про те, що корельований часовий ряд може бути відображений на самоподібний процес шляхом інтегрування. Таким чином, вимірювання властивостей самоподібності може непрямо свідчити про кореляційні властивості ряду. Переваги АДФ порівняно з іншими методами (спектральний аналіз, R/S-аналіз) полягають в тому, що він виявляє довгочасові кореляції нестаціонарних часових рядів, а також дозволяє ігнорувати очевидні випадкові кореляції, що є наслідком нестаціонарності.

Існують АДФ різних порядків, що відрізняються трендами, які вилучаються з даних.

Розглянемо АДФ найнижчого порядку.

Часовий ряд довжини інтегрується, , де – і-те значення часового ряду, – його середнє значення, ([4] C.-K. Peng, S. Havlin, H.E. Stanley, A.L. Goldberger, Quantification of scaling exponents and crossover phenomena in nonstationary heartbeat time series, CHAOS 5 (1), 1995). Ця дія повторює процес знаходження накопичень у R/S-аналізі. Отриманий ряд розбивається на підпослідовностей (вікон) однакової ширини і для кожної підпослідовності (у кожному вікні) виконується наступне: 1) за допомогою методу найменших квадратів знаходиться локальний лінійний тренд ; 2) підпослідовність детрендується шляхом віднімання значення локального тренду від значень ряду , що належать підпослідовності ; 3) знаходиться середнє детрендованих значень.

Для отриманих таким чином значень на всіх підпослідовностях знаходиться:

,

де – кількість точок у підпослідовності (ширина вікна), – кількість підпослідовностей, – середнє детрендованих значень для підпослідовності .

Вказана процедура повторюється для вікон різної ширини, внаслідок чого отримується набір пар точок . Побудова залежності від та інтерполяція отриманих значень прямою дає змогу обчислити показник скейлінга , що є коефіцієнтом кута нахилу інтерполяційної прямої і характеризує зміну кореляцій логарифмічних прибутків часового ряду при збільшенні часового інтервалу.

Порівняно із R/S-аналізом метод АДФ дає більші можливості інтерпретації скейлінгового показника : для випадкового ряду (перемішаного чи „сурогатного”) ; при наявності лише короткочасових кореляцій може відрізнятись від 0.5, проте має тенденцію прямувати до 0.5 при збільшенні розміру вікна. Значення показує персистентні довгочасові кореляції, що відповідають степеневому закону; означає антиперсистентний ряд. Спеціальний випадок, коли , означає наявність шуму . Для випадків, коли , кореляції існують, проте перестають відображувати степеневу залежність; випадок свідчить про Броунівський шум, інтегрований білий шум [1].

У АДФ другого порядку (АДФ2) обчислюються відхилення профілю від графіка інтерполяційного многочлена другого порядку. Таким чином, вилучаються впливи можливих лінійних та параболічних трендів для масштабів, більших за розглядувані. Взагалі, у АДФ порядку n обчислюються відхилення профілю від інтерполяційного многочлена n-го порядку, що вилучає вплив всіх можливих трендів порядків до (n-1) для масштабів, більших від розміру вікна.

Потім обчислюється найближчий поліном для профілю на кожному із сегментів і визначається відхилення

.

(9)

Далі застосовується (8) для визначення середньої флуктуації .

Так як АФ та різні види АДФ мають різні детрендові властивості, їх композиція може використовуватись як для виявлення довгочасових кореляцій, так і для знаходження типів наявних у ряді трендів, що не може бути визначеним з використанням традиційних методів, таких як спектральний аналіз.

Часто бувають випадки, коли часовий ряд має невелику кількість даних, недостатню для застосування повного методу АДФ. В цьому випадку можна використовувати підпослідовності, що перекриваються (overlapped subsequences, overlapped boxes). У цьому випадку є загроза виявлення “додаткових” кореляцій. Проте, аналіз, проведений у роботі ([5] M. Ausloos, Statistical physics in foreign exchange currency and stock markets, Physicа A 285, 48-65, 2000), показує, що коефіцієнт нечутливий до способу використання підпослідовностей.

Хід роботи:

1. Знайти та завантажити дані за заданою тематикою. Довжина часового ряду має бути не менше 1000 спостережень. Проаналізувати статистичні характеристики ряду.

2. Знайти логарифмічні повернення

3. Знайти нормалізовані логарифмічні повернення.

4. Дослідити досліджувані ряди на наявність „важких хвостів”

5. Знайти модулі нормалізованих повернень.

6. Знайти функції автокореляції для кожного з рядів (1) та (3), (4) та дослідити функції автокореляції на одному (спільному) графіку.

7. Отримати ряд випадковим перемішуванням ряду з логарифмів повернень.

8. Розрахувати та провести аналіз волатильності та порівняти з нормальним розподілом.

9. Розрахувати показних Херста (R/S аналіз)

10. Провести аналіз детрендованих флуктуацій (DFA). Результат порівняти з R/S аналізом.

11. Провести DFA для модулів нормалізованих повернень.

12. Підсумувати результати проведених досліджень та зробити висновки щодо стану та характеру динаміки досліджуваної системи, наявності довготермінованої пам’яті.

13. Результати-звіт представити у вигляді звіту з ЛР та текстового файлу, дати інтерпретацію одержаних результатів.