Визначення кореляцій

Для визначення кореляцій часового ряду використовується функція автокореляції. Саме поняття автокореляції означає кореляцію часового ряду самого з собою (між попередніми та наступними значеннями). Автокореляцію іноді називають послідовною кореляцією, що означає кореляцію між членами ряду чисел, розташованих у певному порядку. Також синонімами цього терміну є лагова кореляція та персистентність. Наприклад, часто зустрічається автокореляція геофізичних процесів, що означає перенесення залишкового процесу на наступні часові проміжки.

Позитивно автокорельований часовий ряд часто називають персистентним, що означає існування тенденції слідування великих значень за великими та малих за малими, або позитивно корельований часовий ряд можна назвати інертним.

Візьмемо пар спостережень двох змінних x та y. Кореляційний коефіцієнт між x та y визначається як

,

(3)

де сума знаходиться по всім спостереженням.

Таким же чином можна визначати й автокореляцію, або ж кореляцію всередині одного часового ряду. Для автокореляції першого порядку береться лаг (часова затримка), рівний 1 часовій одиниці. Таким чином, автокореляція першого порядку використовує перші спостережень , , та наступні спостережень , . Кореляція між та визначається наступним чином:

,

(4)

де є середнє для першого проміжку спостережень (перші значень), а є середнім для другого проміжку (другі значень). Коефіцієнт, що визначається у (4), і називається коефіцієнтом автокореляції.

Для суттєво великої кількості спостережень (великого ) різниця між середнім на першому інтервалі та середнім на другому інтервалі є несуттєвою і може бути проігнорована, таким чином буде приблизно рівним

,

(5)

де є середнім для досліджуваного періоду.

Рівняння (5) може бути узагальнене для отримання кореляції між спостереженнями, розділеними часовими інтервалами:

.

(5’)

Значення називається коефіцієнтом автокореляції з лагом . Графік функції автокореляції як залежності від також називають корелограмою.

R/S-аналіз

Метод R/S-аналізу, розроблений Мандельбротом та Уоллесом, базується на використанні методу нормованого розмаху Херста, і дозволяє обчислювати параметр самоподібності H, який вимірює інтенсивність довготривалих залежностей у часовому ряді ([1] Y. Liu, P. Gopikrishnan, P. Cizeau, M. Meyer, C.-K. Peng and E. Stanley, The statistical properties of the volatility price fluctuations, arXiv:cond-mat/9903369.). Коефіцієнт H, який називають коефіцієнтом Херста характеризує наявність та глибину довготривалої пам’яті в породжуваних досліджуваною системою часових рядах. За допомогою цього показника розрізняють випадкові (гаусові) та невипадкові ряди; окрім того, він пов’язаний із фрактальною розмірністю, що, у свою чергу, характеризує ступінь згладженості графіка, побудованого на основі часового ряду. Методом R/S-аналізу можливо також виявити максимальну довжину інтервалу (цикл), на якому значення зберігають інформацію про початкові дані системи (довготривала пам’ять).

Аналіз починається із побудови ряду логарифмічних прибутків (повернень, англ. return) , де – значення вихідного часового ряду у момент , – часовий крок. Отримана послідовність розбивається на підпослідовностей довжини . Для кожної підпослідовності : 1) шукається середнє значення та стандартне відхилення ; 2) дані нормалізуються шляхом віднімання середнього значення послідовності , ; 3) створюється послідовність накопичень , ; 4) знаходиться розмах , який нормується середнім квадратичним відхиленням ; 5) обчислюється середнє нормованих значень розмаху для всіх підпослідовностей довжини .

R/S-статистика, обрахована таким чином, відповідає співвідношенню , де значення може бути отримане шляхом обчислення для послідовності інтервалів зі збільшенням часового горизонту:

.

(6)

Знайти коефіцієнт Херста можна, побудувавши залежність у подвійному логарифмічному масштабі і взявши коефіцієнт нахилу прямої, яка інтерполює точки отриманого графіка. Якщо значення , говорять про послідовність, що представляє собою білий шум; свідчить про персистентний ряд, коли існує тенденція слідування великих значень ряду за великими і навпаки; вказує на антиперсистентний ряд.

Згідно [1] при збільшенні часового горизонту коефіцієнт нахилу інтерполюючої прямої повинен прямувати до значення ; сам процес переходу свідчить про втрату впливу початкових умов на поточні значення, і, таким чином, можна говорити про горизонт довгої пам’яті – це точка, до якої коефіцієнт нахилу інтерполюючої прямої відмінний від , а після – близько .