Основные понятия

Простейшим типом колебания является гармоническое колебание, когда смещение тела от положения равновесия зависит от времени по закону синуса или косинуса (рис.1а):

хAsin(t) или хAcos(t) (1)

где х – величина смещения тела от положения равновесия, А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия; амплитуда равна максимальному абсолютному значению х в момент t, когда функция sin или cos принимает значение 1, t- фаза колебания, определяющая положение колеблющегося тела в дан­ный момент.

Основные характеристики колебаний – амплитуда, частота, период. Частота колебаний равна числу полных ко­лебаний, совершаемых за единицу времени. Единицей частоты является Герц (Гц) – частота такого колебания, при котором за 1 с совершается одно полное колебание. Периодом колебаний называется промежуток времени, за который совершается одно полное колебание. Период связан с частотой соотношением T.

Циклическая или круговая частота колебания численно равна числу полных колебаний, совершаемых за  се­кунд: .

Тело совершает гармонические колебания, когда на него действует упругая сила, пропорциональна величине смещения от положения равновесия

F= kx, (2)

где k – коэффициент упругости. Знак минус указывает, что возвращающаяся сила направлена в сторону, проти­воположную смещению, то есть к положению равновесия.

З апишем для колеблющегося тела второй закон Ньютона: maF или

(3)

Уравнение можно переписать

и ввести обозначение:

(4)

Тогда уравнение примет вид:

(5)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Одним из решений такого уравнения явля­ется x=Acos(ωt+φо). Циклическая частота колебаний ωо называется циклической частотой собственных колеба­ний. Период таких колебаний:

(6)

При гармоническом колебательном движении кинетическая энергия колеблющейся материальной точки непре­рывно меняется. Меняется и потенциальная энергия между точкой и окружающими телами.

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m:

Потенциальная энергия квазиупругих сил, отсчитываемая от положения равновесия данной материальной точки:

Г де x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, k – коэффициент квазиупругой силы.

П олная энергия материальной точки, совершающей гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой A:

В процессе движения происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но полная энергия – величина постоянная, она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Собственные гармонические колебания системы – это идеальный случай колебаний, когда энергия системой не теряется и амплитуда остаётся постоянной. В случаях реальных колебаний энергия, переданная системе, посте­пенно расходуется на преодоление сил сопротивления, поэтому амплитуда колебаний уменьшается, колебания затухают. Эти колебания называются затухающими (рис. 1 б, в). Их частота определяется свойствами колеблю­щейся системы – массой, возвращающейся силой, сопротивлением.

Если сила сопротивления среды пропорциональна скорости колебания, то второй закон Ньютона для колеблю­щейся точки запишется:

(7)

В ведём обозначения 2βr/m; ²k/m. Решение уравнения (7) имеет вид:

(8)

А мплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону xоe (рис. 1б), частота затухающих колебаний

(9)

Если ωо <β, частота является мнимым числом и имеет место апериодический процесс – рис. 1в.

Рис.1

В случае затухающих колебаний энергия убывает по закону

( 10)

В еличина отношения энергии за время Т/2π1/ω характеризует способность колебательной системы сохранять энергию и называется добротностью:

(11)

Добротность равна числу колебаний за время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, а энергия в е раз.

С тепень затухания колебания характеризуется логарифмическим декрементом, который определяет затухание колебаний за период:

(12)

Для изучения колебаний можно использовать физический или математический маятники.

Каждое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник. На рис. 2 изображен физический маятник, отклонённый от положения равновесия.

O

Через точку О перпендикулярно рисунку проходит неподвижная lc

ось, вокруг которой совершаются колебания, С – центр тяжести

маятника (точка, в которой приложена сила тяжести mg). α

Момент силы mg относительно оси О равен M=-mglс sinα, -

где l – расстояние от оси вращения до центра тяжести – точки С.

При малых углах отклонения, когда можно принять sinα=α , -

основной закон динамики вращательного движения, описывающий mg

к олебания такого маятника, можно записать в виде: Рис.2

(13)

где J - момент инерции физического маятника относительно оси вращения.

Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению (5); величина mgl/J квадратом круговой частоты гармонических колебаний:

(14)

Решение уравнения (13) α=αоcos(ωot+φ) описывает гармонические колебания, совершаемые физическим маятником. Период таких колебаний:

(15)

Д ля математического маятника (математическим маятником называют колеблющееся тело размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от центра масс тела до оси вращения) в случае малых углов отклонения дифференциальное уравнение колебаний выглядит:

(16)

П ериод колебаний математического маятника:

(17) O

Физический маятник, описываемый (13), колеблется с таким же периодом, lo

как и математический маятник, описываемый (16), имеющий длину lо =J/mlc ,

где lc - расстояние от О до С.

Приведенной длиной lо физического маятника называется С

длина такого математического маятника, который имеет

тот же период колебаний, что и данный физический маятник. lo' O'

Если к оси физического маятника подвесить грузик на нити О'

такой длины, чтобы она была равна приведенной длине

данного физического маятника (рис.3), то отклоненные на Рис.3

одинаковый угол физический маятник и грузик колеблются вместе, так что грузик всё время находится в одной и той же точке физического маятника – его центре качаний.

Приведенная длина lо всегда больше lс, то есть центр качаний всегда лежит ниже центра тяжести. По теореме Штейна момент инерции относительно оси маятника J=Jo+mlc² , где Jо – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести. Поэтому приведенная длина будет

Т очка подвеса и центр качаний обратимы. Теорема Гюйгенса: если физический маятник подвесить за центр качания, его период не изменится и прежняя точка подвеса будет новым центром качания. Докажем теорему Гюйгенса следующим образом. Расстояние CO' от центра тяжести до новой оси О' lс'=lo-lc, где lo=OO' – прежняя приведенная длина, lc=ОС – расстояние от центра тяжести до прежней оси. Поэтому новая приведенная длина будет равна:

(18)

где J' – момент инерции маятника относительно оси О'.

П о теореме Штейна J=Jo+m(lo-lc)² , откуда

(19)

г де Jo – момент относительно оси, проходящей через центр тяжести. Но, с другой стороны, так как lo=lc+Jo/mlc, подставив lo-lc=Jo/mlc в (19), получим:

(20)

Мы получили, что lo'=lo- обратимость точки подвеса и центра качаний.