Глава 6. Ряди

§ 15. Числові ряди

1. Означення числового ряду.

Означення1. Нехай задано послідовність дійсних чисел u₁,u₂,…,u_n,…

Числовим рядом називають вираз u₁+u₂+u₃+…+u_n+…= (1)

Означення 2. Числа u₁, u₂ ,…, u_n,… називаються членами ряду (1); u_n називається загальним членом ряду.

Означення 3. Сума перших п членів ряду називається частинною сумою ряду.

S₁, S₂, S₃,…, S_n . (2)

де S₁=u₁, S₂=u₁+u₂, S₃=u₁+u₂+u₃, …, S_n= u₁+u₂+…+u_n.

2. Збіжні і розбіжні ряди.

Означення 4. Ряд (1) називається збіжним, якщо послідовність його частинних сум (2) збігається, тобто (3)

Число S називається сумою ряду. Якщо не існує або , то ряд називається розбіжним і йому не приписується ніяке числове значення.

3. Знакододатні ряди. Достатні ознаки збіжності

При дослідженні на збіжність знакододатних рядів, тобто рядів з невід’ємними членами найчастіше користуються такими достатніми ознаками збіжності:

Теорема 1 (ознаки порівняння).Нехай задано два ряди з додатними членами u₁+u₂+u₃+…+u_n+…, u_n ≥ 0, (4)

59

95. Складіть диференціальне рівняння гармонічних коливань, розв’язком якого є функція:

1) y=3sin(2x- ); 2) y= 2 cos( -4x); 3) y= cos2t+sin2t.

96. Знайти інтегральну криву рівняння у″-4у′+3у=0, що проходить через точку (0;2) і дотикається в цій точці прямою у = х+2.

Запитання для самоконтролю

1. Який вигляд має найпростіше диференціальне рівняння другого порядку? Як воно розв’язується?

2. Визначить, яка із вказаних функцій є загальним розв’язком диференціального рівняння у″ = 2х:

а) у= 2х³+С₁х+С₂; б) у= х³+С₂;

в) у= х³+С₁х+С₂; г) у = х³+х.

3. Запишіть задачу Коші для рівняння у″=f(x).

4. Запишіть лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Як вони розв’язуються?

5. Що таке характеристичне рівняння?

6. Який фізичний зміст мають сталі А і в розв’язку x=A cos( рівняння х″+ х=0?

61