§ 14. Диференціальні рівняння другого порядку

1.Простіші диференціальні рівняння другого порядку.

Означення1. Рівняння, що містить похідні або диференціали другого порядку, називається диференціальним рівнянням другого порядку.

Простішим диференціальним рівнянням другого порядку є рівняння:

у″=f(x)

Таке рівняння розв’язується двократним інтегруванням.

Приклад1. Розв’язати рівняння у″ = ℮^2х + sinx.

Розв’язання. Так як у″ = ( у′)′ , то інтегруючи праву частину рівняння, маємо у′ = ∫ ( ℮^2х + sinx)dx = ℮^2x – cosx + C₁.

Інтегруючи ще раз, одержимо всі розв’язки даного рівняння

65

y = ℮^2x – sinx + C₁x + C₂, де С_1, С₂− довільні сталі.

Множина розв’язків диференціального рівняння другого порядку визначається двома сталими. Щоб виділити єдиний розв’язок рівняння, досить задати значення функції і її похідної при фіксованому значенні аргументу.

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння другого порядку, що задовольняє початковим умовам

у(х_о) = у_о, у′(х_о) = у_о′, де х_о , у_о у_о′- задані числа, називається задачею Коші.

Ці умови називаються початковими умовами, так як з фізичної точки зору вони означають, що в фіксований (початковий) момент часу задані положення матеріальної точки і її швидкість.

Геометричний зміст задачі Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої , що проходить через задану точку і має заданий кутовий коефіцієнт дотичної в цій точці.

Вправи

86. Розв’язати рівняння:

1) у″ = 2; 2) 3) 4) у″ = ℮^2t;

5) y″ = cos²x; 6) y″ = ℮^-x; 5) y″ = 18x + 2; 6) s″ = t + 1.

64

5) 6)

101. Дослідіть збіжність ряду з використанням ознаки Коші:

1) 2) 3)

4)

4. Знакозмінні ряди

До цих пір розглядалися ряди , в яких члени були додатні. Тепер розглянемо ряди , члени яких мають знаки , що чергуються . тобто :

u₁- u₂ + u₃ – u₄ +… + (- 1)^n-1 u_n + … , де u_n > 0 ( 7 )

Цей ряд досліджується на збіжність за допомогою такої ознаки :

Теорема 1 (ознака Лейбніца ) . Якщо в знакозмінному ряді (7) члени ряду такі , що u₁ > u₂ > u₃ > … і u_n = 0 , то ряд (7) збігається . При цьому сума ряду додатна і не перевищує першого його члена .

Приклад4. Дослідіть збіжність ряду

1-

Розв’язання. Даний ряд задовольняє умовам теореми Лейбніца , так як

1 > і . Отже, даний ряд збігається , причому його сума менша 1.

5. Абсолютна та умовна збіжності

Теорема 2. Якщо знакозмінний ряд (7) такий , що ряд , складений із абсолютних величин його членів

56

Приклад3. Дослідити збіжність ряду

Розв’язання. Використаємо ознаку Коші:

отже, ряд збігається.

Вправи

97. Знайти загальний член ряду :

1) 1+ 2) 3) 1+

4) 5)

98. Записати перших 5 членів ряду та перевірити необхідну умову збіжності ряду:

1) 2) 3) 4)

5)

99. Дослідити збіжність ряду з використанням ознаки порівняння:

1) 2) 3) 4)

100. Дослідити збіжність ряду за ознакою Даламбера:

1) 2) 3) 4)

57

87. Складіть диференціальне рівняння, розв’язками якого є функції:

1) у = х² + С₁х + С₂; 2) х = cos2t + C₁t + C₂.

88. Розв’язати задачу Коші:

1) s(2) = 5, s′(2) = 6;

2) y″= 12x², y(1)=1, y′(1) = 4;

3) y″ = ℮^3x + 2x, y(0)=y′(0) = 0;

4) x″ = sin2t, x(0) = x′(0) = 0;

5) y″ = 1 - y(1) = -1, y′(1) = 1.

89. Прискорення тіла, що рухається прямолінійно, змінюється по закону a=12t-1. Початкове положення х(0)=0 і початкова швидкість v(0)=10м/с. Знайдіть закон руху точки , положення і швидкість в момент t=3c; момент часу, коли швидкість буде найменшою.

90. Тіло вільно падає на Землю без початкової швидкості з висоти 1000м. Знайдіть закон вільного падіння тіла. Через скільки часу тіло досягне Землі?