Глава 5. Диференціальні рівняння

При дослідженні різноманітних процесів та явищ , що містять елементи руху , часто користуються математичними моделями у вигляді рівнянь , до яких , крім незалежних величин і залежних від них шуканих функцій , входять також похідні від шуканих функцій . Такі рівняння називаються диференціальними ( термін « диференціальне рівняння » введений у 1576 р. Лейбніцем ).

§ 13. Диференціальні рівняння першого порядку

1.Поняття про диференціальне рівняння

Розглянемо деяку функцію y=f(x). Позначимо через f′(x) її першу похідну, через f″(x) − другу похідну і т. д., а диференціали функцій і аргумента позначимо відповідно

dy і dx.

Означення1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке пов’язує незалежну змінну х , шукану функцію у і її похідні різних порядків .

Найвищий порядок похідної , що входить в рівняння , називають порядком рівняння .

Розв’язати диференціальне рівняння− означає знайти таку функцію, підстановка якої в це рівняння перетворює його в тотожність. Ця функція називається розв’язком диференціального рівняння.

Графік розв’язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Простішим диференціальним рівнянням першого порядку є рівняння

y′ = f(x),

де f(x)− задана функція. Множина розв’язків цього рівняння є невизначеним інтегралом функції f(x):

71

Це рівняння має безліч розв’язків. Щоб виділити єдиний розв’язок рівняння, досить задати значення шуканої функції при фіксованому значенні аргументу.

Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння першого порядку, що задовольняє умові у(х₀)=у₀, де х_0, у₀− задані числа, називається задачею Коші.

Умова у(х₀)=у₀ називається початковою умовою, так як з фізичної точки зору вона означає, що в фіксований (початковий) момент часу задано положення матеріальної точки.

Геометричний зміст задачі Коші полягає в знаходженні інтегральної кривої рівняння, що проходить через задану точку.

Розв’язок рівняння , який містить стільки незалежних довільних сталих С₁, С₂ , …, С_n , який порядок рівняння , називається загальним розв’язком .

Розв’язок при конкретних значеннях сталих називається частинним розв’язком .

Приклад 1. Знайти розв’язок задачі Коші

у′=2х+1, у(1)=3.

Розв’язання. у= ∫ (2х+1) dx=х²+х+С. Користуючись початковою умовою, маємо у(1)=1+1+С=3. Отже С=1 і шуканий розв’язок у=х²+х+1.

2. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.

Означення 2. Рівняння виду f(x)dx+ (y)dy=0, (1)

де f(x) і (y)− задані функції, називається рівнянням з відокремленими змінними.

Розв’язування таких рівнянь виконується безпосереднім інтегруванням.

Означення 3. Рівняння виду y′=f(x) (y), (2)

70

де

Якщо функція f(x) парна на , то її ряд Фур’є має вигляд

де

Якщо функція f(x) непарна на , то її ряд Фур’є має вигляд

де

Вправи

106. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=x² на відрізку .

107. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=2-х в проміжку

(-2;2).

108. Розкласти в ряд Фур’є функцію f(x)=2-х в проміжку (0;2).

109. Розкласти функцію f(x)=5 тільки по синусах в проміжку (0;5).

50

Вправи

104. Розкласти в ряд Маклорена:

1) f(x)= sin 2x ; 2) f(x)=3^x ; 3) f(x)= ln x ; 4) f(x)= ;

5) f(x)=cos²x.

105. Складіть ряд Тейлора для даної функції у вказаних точках:

1) f(x) = ℮^2x, a=0, a=1;

2) f(x) = sin x a= , a= .