5.2.1. Метод дихотомии

Пусть – достаточно малое число. В этом методе на каждой итерации

, . Как только длина очередного отрезка локализации станет меньше , построение последовательности прекращается. Таким образом, изложенный алгоритм конечен.

В этом методе длина отрезка локализации на каждой итерации сокращается почти в два раза. (Поэтому в некоторых источниках этот метод называется методом деления отрезка пополам). Это, конечно, является положительным качеством метода. Следует также отметить тот факт, что, согласуя выбор параметра с необходимой точностью локализации минимума, легко заранее вычислить количество итераций нужное для нахождения приближенного решения задачи.

Вторым примером реализации изложенной выше схемы является метод золотого сечения.

5.2.2. Метод золотого сечения

Определение 1. Пусть точка разбивает отрезок на две неравные части. Будем говорить, что она осуществляет золотое сечение отрезка, если отношение длины меньшего из подотрезков к длине большего равно отношению длины большего подотрезка к длине всего отрезка.

Легко увидеть, что если , то является одним из корней (принадлежащим отрезку

) квадратного уравнения . Этот корень можно вычислить по формуле

.

Второй корень этого уравнения не принадлежит отрезку (превышает ).

Очевидно, что существуют две точки золотого сечения отрезка симметричные относительно середины отрезка. Обозначим вторую точку золотого сечения (очевидно, что

). Точка также является одним из корней соответствующего квадратного уравнения и вычисля-ется по формуле

. Заметим, что в силу симметрии имеет место равенство , что позволяет, зная одну из точек золотого сечения, вычислить другую (например,

).

Легко показать, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 2. Пусть , – точки золотого сечения отрезка

, . Тогда является золотым сечением отрезка

, а – золотым сечением отрезка

.

Итак, метод золотого сечения представляет собой такую реализацию общей схемы, в которой точки являются точками золотого сечения текущего отрезка локализации.

Отметим, что в силу теоремы 2 на каждой итерации, кроме начальной, необходимо вычислять только одну точку золотого сечения и значение функции в этой точке. В этом смысле данный метод выгодно отличается от предыдущих, где на каждой итерации вычисляются значения функции в двух новых точках .

Скорости уменьшения длины отрезка локализации в методе золотого сечения несколько ниже, чем в методе дихотомии, а именно

.

Следовательно, .

Тем не менее, метод золотого сечения является более эффективным по сравнению с методом ди-хотомии, поскольку для достижения заданной точности (длины последнего отрезка локализации) здесь требуется меньшее количество вычислений функции.

Однако, заметим, что в формулах для вычисления точек золотого сечения присутствует иррациональность. Поскольку на практике используются приближенные значения , точки золотого сечения вычисляются с той или иной погрешностью. Накопление погрешности с ростом числа итераций приводит к невозможности достижения заданной точности решения. Существуют различные приемы компенсации накопления погрешности.

К методу золотого сечения близко примы-

кает так называемый метод Фибоначчи, который, в отличие от метода золотого сечения, является конечным.