- •Перечень условных обозначений
- •Задание
- •Краткие теоретические сведения
- •Основные понятия в теории струйных течений
- •Профили скорости в затопленной струе
- •Линии равных значений скорости в затопленной струе
- •Изменение скорости вдоль оси затопленной струи
- •Перенос тепла в затопленной струе
- •Скорости в сечении струи
- •Диффузия примесей в затопленной струе
- •Весовой концентрации со2 в сечении струи
- •Теория "пути смешения" Прандтля
- •Общие зависимости, характеризующие
- •Расчет затопленной струи несжимаемой жидкости
- •Длины переходного участка
- •Постоянной массы вдоль струи - безразмерная кинетическая энергия ядра постоянной массы на начальном участке; - безразмерная кинетическая энергия ядра постоянной массы на основном участке.
- •В ядре постоянной массы вдоль струи
- •Графически это выглядит так:
Длины переходного участка
Секундное количество воздуха, протекающее сквозь поперечное сечение основного участка струи, равно:
Расход воздуха в долях от его величины в начальном сечении выражается зависимостью:
В представленном выражении отношение:
А интеграл:
Тогда с учетом этого после преобразований формула безразмерной величины расхода воздуха в основном участке осесимметричной струи примет вид:
. (37)
Расход воздуха на начальном участке струи может быть представлен в виде суммы расходов ядра постоянных скоростей и пограничного слоя:
,
где - радиус ядра постоянных скоростей, - радиус внешней границы пограничного слоя. Если выразим расход в долях от начального расхода , то получим:
.
Вычисление интегралов по таблицам [2] приводит к следующим значениям:
; .
Заменяя интегралы их численными значениями, получаем формулу для безразмерного значения расхода воздуха на начальном участке осесимметричной струи:
. (38)
Рассмотрим изменение расхода по длине струи (в долях от его величины в начальном сечении) в исследуемом нами случае, т.е. при . Рассчитаем значение безразмерного расхода на начальном участке струи, при различных значениях , используя формулу (38):
|
0 |
0,3 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,39 |
|
0,63 |
0,81 |
1,06 |
1,24 |
1,43 |
1,67 |
1,85 |
2,09 |
Рассчитаем значение безразмерного расхода на основном участке струи, при различных значениях , используя формулу (37):
|
2,39 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
12 |
|
2,09 |
2,57 |
3,5 |
4,65 |
6,0 |
7,56 |
11,3 |
18,46 |
Проделав расчет для переходного сечения струи , можно сделать вывод о том, что формулы (37) и (38) дают одинаковые безразмерные значения расхода:
Используя полученные результаты, представим графически изменение безразмерного расхода по длине струи (рис. 4.5):
Рис. 4.5. Изменение безразмерного расхода по длине струи
- безразмерный расход на начальном участке струи;
- безразмерный расход на основном участке струи.
Таким образом, расход сквозь поперечное сечение струи возрастает с увеличением расстояния сечения от сопла.
Безразмерный запас энергии на основном участке осесимметричной струи измеряется величиной:
По таблицам [2] находим значение интеграла:
Отношение скоростей определяется выражением:
.
Учитывая два вышеприведенных равенства, преобразуем выражение для определения безразмерного запаса энергии на основном участке осесимметричной струи. В конечном итоге имеем:
. (39)
Безразмерный запас энергии на начальном участке определяется выражением:
.
Определенные интегралы вычисляем по таблицам [2]:
; .
Заменив интегралы их численными значениями, и преобразовав полученное выражение, находим формулу безразмерного запаса энергии на начальном участке осесимметричной струи:
. (40)
Рассчитаем значение безразмерного запаса энергии на начальном участке осесимметричной струи, при различных значениях , используя формулу (40):
|
0 |
0,3 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,39 |
|
1 |
0,92 |
0,82 |
0,76 |
0,71 |
0,66 |
0,64 |
0,61 |
На основном участке струи определяем значение безразмерного запаса энергии используя формулу (39):
|
2,39 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
12 |
|
0,61 |
0,52 |
0,42 |
0,35 |
0,3 |
0,26 |
0,21 |
0,16 |
По полученным значениям построим график изменения запаса энергии в струе:
Рис. 4.6. Изменение безразмерного запаса энергии вдоль струи
- безразмерный запас энергии на начальном участке струи;
- безразмерный запас энергии на основном участке струи.
Значение безразмерной средней арифметической скорости в поперечном сечении струи равно отношению расхода к площади сечения:
. (41)
На основном участке струи безразмерная величина средней скорости оказывается константой, что объясняется подобием скоростных профилей в различных сечениях основного участка струи:
. (42)
Помимо полученной выше безразмерной средней скорости имеет большое значения безразмерная среднеквадратичная скорость, которая представляет собой отношение импульса, протекающего в единицу времени сквозь поперечное сечение струи, к массовому расходу жидкости в том же поперечном сечении.
Вследствие постоянства импульса струи его величина равна:
,
тогда как массовый расход составляет:
.
Отсюда получаем, что выражение для среднеквадратичной скорости имеет вид:
.
В безразмерном виде это уравнение выглядит следующим образом:
.
Таким образом, безразмерная средняя квадратичная скорость на основном участке струи круглого сечения составляет:
. (43)
На начальном участке струи величина безразмерной средней арифметической скорости равна:
, (44)
а безразмерная средняя квадратичная скорость выражается следующим образом:
. (45)
Рассчитаем значения средней арифметической и средней квадратичной безразмерных скоростей на начальном участке осесимметричной струи, при различных значениях , используя формы (44) и (45) соответственно:
|
0 |
0,3 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,39 |
|
1 |
0,649 |
0,432 |
0,345 |
0,29 |
0,242 |
0,218 |
0,196 |
|
1 |
0,932 |
0,834 |
0,76 |
0,689 |
0,602 |
0,544 |
0,476 |
На основном участке безразмерные средняя арифметическая и средняя квадратичная скорости постоянны и определяются выражениями (42) и (43) соответственно:
По рассчитанным значениям построим график, отражающий изменение средних скоростей по длине струи.
Рис. 4.7. Изменение безразмерных средних скоростей по длине струи
– безразмерная средняя арифметическая скорость на начальном участке; – безразмерная средняя арифметическая скорость на основном участке; – безразмерная средняя квадратичная скорость на начальном участке; – безразмерная средняя квадратичная скорость на основном участке.
Воспользуемся теоремой о равенстве безразмерных значений средней температуры и средней квадратичной скорости в произвольном сечении произвольного участка струи:
.
Или, подставив известные значения скоростей, имеем:
; (46)
. (47)
Получили безразмерное значение средней температуры в поперечном сечении основного участка струи.
Тот же закон получается и для средних концентраций примесей в поперечном сечении основного участка струи:
, (48)
, (49)
где - средняя избыточная концентрация примесей в поперечном сечении струи; и - значения избыточных концентраций соответственно на оси данного сечения и в начальном сечении.
Границы ядра первоначальной массы струи могут быть определены из условия постоянства расхода в ядре ( ).
Безразмерный расход на основном участке ядра постоянной массы равен:
.
Введем обозначение интеграла:
Учитывая, что , откуда
. (50)
Выражение (50) дает возможность вычислить безразмерный радиус ядра постоянной массы в области основного участка круглой струи:
. (51)
Вычисление отношения происходит по следующему принципу:
1) По заданному значению определяют величину В1.
2) Из рис. 4.8 по зависимости В1= отыскивают соответствующие значения .
3) По формуле (51) находят .
Рис. 4.8. Зависимости В=
Вычислим радиус ядра в переходном значении, т.е. при :
Из графика по вычисленной величине находим
Аналогичным образом рассчитаем остальные значения для основного участка струи:
|
2,39 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
12 |
, м |
0,304 |
0,317 |
0,338 |
0,358 |
0,376 |
0,393 |
0,425 |
0,475 |
Если считать, что в пределах начального участка граница ядра постоянной массы прямолинейна, то можно вывести формулу безразмерного радиуса ядра постоянной массы для начального участка струи:
. (52)
Подставляя численные значения и , вычислим при различных значениях длины :
|
0 |
0,3 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,7 |
2,0 |
2,39 |
|
0,25 |
0,257 |
0,266 |
0,272 |
0,279 |
0,288 |
0,295 |
0,304 |
Представим графически изменения радиуса в ядре постоянной массы осесимметричной струи (рис. 4.9):
Рис. 4.9. Изменение радиуса ядра постоянной массы вдоль струи
– радиус ядра постоянной массы на начальном участке;
– радиус ядра постоянной массы на основном участке.
Безразмерная энергия ядра постоянной массы в основном участке струи определяется зависимостью:
. (53)
Введем обозначение интеграла:
Его значения вычислены по таблицам [2] и приведены на рис. 4.8.
Подставляя численные значения и , вычислим при различных значениях длины :
|
2,39 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
9 |
12 |
|
0,98 |
0,62 |
0,366 |
0,264 |
0,183 |
0,126 |
0,052 |
0,024 |
Найдем безразмерную кинетическую энергию ядра постоянной массы на начальном участке струи:
.
Численные значения интегралов определяют по таблице [2]:
; .
Подставляя вместо интегралов их численные значения, получим следующую формулу для безразмерной энергии ядра постоянной массы на начальном участке:
. (54)
В переходном сечении формула (53) приводит к такому же значению , что и формула (54).
Произведем расчет по формуле (54) для начального участка струи при различных значениях длины :
|
0 |
0,3 |
0,7 |
1 |
1,3 |
1,7 |
2 |
2,39 |
|
2 |
1,841 |
1,635 |
1,479 |
1,352 |
1,194 |
1,076 |
0,98 |
Построим график изменения безразмерной кинетической энергии ядра постоянной массы по полученным значениям:
Рис. 4.10. Изменение безразмерной кинетической энергии ядра