Коливальні системи та їх енергія.

Механічні системи, що володіють тією властивістю, що будучи виведеними з положення стійкої рівноваги, і надані потім самим собі, створюють коливання, що називається коливальними системами, а створені ними коливання – власними.

Якщо сили тертя відсутні, то власні коливання називаються вільними.

Енергія коливальної системи складається з кінетичної енергії рухомого елементу системи і потенційної енергії пружної частини системи:

;

(5-14)

Динамічне рівняння вільних(власних) гармонійних коливань.

У разі вільних коливань на рухомий елемент системи діє квазіпружна сила , використовуючи рівняння другого закону Ньютона ; ; ; ; ;

Отримуємо динамічне рівняння руху:

– рівняння руху (лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку).

Загальний розв’язок:

теорія диференціальних рівнянь дає таке рішення , що можна перевірити безпосередньо підставивши його в рівняння руху (5.13). З розв’язку диференційного рівняння одержуємо:

; .

Тобто, якщо на рухомий елемент системи діє пружна (квазіпружна) сила, то він скоює гармонійні коливання з постійною амплітудою і частотою і розв’язком якого є гармонійна функція

Гармонійні коливання діляться на вільні і затухаючі.

Вільні коливання – коливання, які відбуваються без впливу зовнішнього середовища, в якому вони здійснюються.

Затухаючі гармонійні коливання.

Нехай на систему, окрім квазіпружної сили діє і сила тертя.

– рух у в'язкому середовищі з малими швидкостями.

;

– лінійне диференціальне рівняння ІІ порядку з постійним коефіцієнтом.

Для розв’язку динамічного рівняння застосовуємо підстановку Ейлера:

=ω² z=0, тобто диференціальне рівняння приведено до динамічного рівняння вільних коливань з частотою ω і періодом Т:

Розв’язок диференційного рівняння такого типу має вигляд:

Але : х=z , і тоді маємо : х= , де

При – отримаємо випадок вільних коливань

При ; – аперіодичних коливань .

Таким чином, диференціальне рівняння затухаючих коливаннь має вигляд :

(5-15)

Тобто коливальна система здійснює затухання гармонійних коливань, амплітуда яких зменшується з часом за експоненціальним законом.

Рис. 5.16. Графік затухаючих гармонійних коливань

Динамічні параметри затухаючих коливань.

а)Коефіцієнт затухання

Коефіцієнт , що характеризує швидкість затухання коливань, називається коефіцієнтом затухання.

Визначимо фізичний зміст коефіцієнта затухання . Візьмемо відношення 2 амплітуд, розділених за часовим інтервалом в 1 секунду:

– натуральний логарифм відношення двох амплітуд, розділених інтервалом в 1 с.

б) Логарифмічний декремент затухання

Швидкість затухання також характеризують логарифмічним декрементом затухання, яким називається величина, рівна натуральному логарифму 2 останніх амплітуд, розділених проміжком часу, рівним 1 періоду.

Логарифмічний декремент загасання в раз більше чим .

Оскільки й , те .

в)Добротність коливальної системи.

Енергетично коливальна система характеризується добротністю. Під добротністю розуміють збільшене в 2п раз відношення повної енергії системи до енергії неуважної за період:

чим менше енергії розсіюється, тим більше добротність системи.

Можна показати, що

– добротність обернено пропорційна логарифмічному декременту.

Вимушені коливання – коливання, що виникають у коливальній системі при дії на неї зовнішньої сили, що змушує, що періодично змінюється.

Нехай сила, що змушує, змінюється за законом .

Крім на систему діють: сила, що повертає, сила тертя .

Рівняння руху:

; ;

– динамічне рівняння вимушених гармонійних коливань, яке є неоднорідним диференціальним рівнянням 2-го порядки.

Загальне рішення такого рівняння: – дорівнює сумі загального рішення – однорідного рівняння й частого рішення неоднорідного рівняння за досить великий проміжок часу власні коливання практично згаснуть і залишиться ІІ доданок.

Тому – описує змушені коливання системи.

Можна показати, що , тобто вимушені коливання являють собою гармонійні коливання з амплітудою тієї ж частоти, яку має сила, що їх змушує. Однак зсув зміщений по фазі на .

(5-16)

Амплітуда вимушених коливань залежить від співвідношення частоти вільних (власних) коливань до частоти сили, що змушує , а також від сили, що змушує, і .

Графік залежності А=А(ω) має вигляд :

Рис. 5.17.