Додавання коливань.

а) Додавання коливань одного напрямку з однаковими частотами.

Нехай додаються два гармонічні коливання

, однакового напряму і частоти, але з різними амплітудами і фазами.

Використаємо метод векторних діаграм, згідно якого гармонічне коливання графічно можна представити у вигляді обертаючого радіус-вектора, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кутова швидкість обертання дорівнює циклічній частоті коливань.

Рис. 5.8.

Таким чином, гармонічні коливання х₁ і х₂ можна представити як проекції обертаючих з кутовою швидкістю ω векторів і . Так як ω=соnst, то кут . γ =сonst → γ=α₁ – α₂ = ωt+φ₀₂ – ωt-φ₀₁= φ₀₂ – φ₀₁ = const.

Так як сума проекцій векторів і на деяку вісь дорівнює проекції на цю вісь вектора = + , то результуюче коливання можна графічно представити у вигляді проекції вектора , що обертається з тією швидкістю ω (γ =сonst).

Тобто: х=х₁+х₂=А cosα, де α= ωt + φ₀, х=А cos( ωt + φ₀).

Висновок. Якщо точка одночасно приймає участь в двох гармонічних коливаннях, що відбуваються в одному напрямку з однаковою частотою, то результуюче коливання також буде гармонічним коливанням, що відбувається в тому ж напрямку і з тією ж частотою, що і складові коливання.

Знайдемо початкову фазу і амплітуду результуючого коливання в момент часу t=0 : α₁ = φ₀₁, α₂ = φ₀₂, α = φ₀.

Тоді з рисунка випливає, що

(5-5)

Амплітуду результуючого коливання знайдемо, використовуючи теорему косинуса:

, де

(5-6)

Якщо додати два гармонічні коливання одного напрямку з різними частотами, то вектори і обертаються з різними кутовими швидкостями. В результаті чого кут γ між ними γ= γ(t). Тому, модуль вектора результуючого коливання = + буде змінюватись з часом, так як і його кутова швидкість.

Висновок. Результуюче коливання не є гармонічним.

Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань. Фігури Ліссажу.

Нехай одне гармонічне коливання відбувається вздовж осі х, а друге вздовж осі у:

Знайдемо рівняння траєкторії результуючого коливання. Для цього виключимо час t.

(5-7)

(5-8)

Піднесемо до квадрату і почленно додамо (5.7) і (5.8). Одержимо:

Одержали рівняння еліпса в загальному вигляді. Траєкторія результуючого коливання – крива ІІ порядку еліпс. Орієнтація цього еліпсу залежить від різниці фаз складових коливань.

Розглянемо окремі випадки:

а) нехай різниця фаз φ₀₁ - φ₀₂ =0.

Тоді: , тобто

Висновок. При різниці фаз Δφ=0 точка рухається по відрізку прямої, що проходить через початок координат з кутовим коефіцієнтом , обмеженому амплітудами А і В коливань.

Рис. 5.9.

б) якщо φ₀₁-φ₀₂=π, то рівняння приймає вигляд: , тобто .

В цьому випадку результуюче гармонічне коливання здійснюється з частотою ω навколо точки О по відрізку прямої, що нахилена до осі під кутом .

в) якщо Δφ=π/2, або 3π/2, то одержимо траєкторію результуючого коливання – еліпс, осі якого співпадають з осями координат

В першому випадку рух здійснюється за стрілкою годинника, в другому випадку – проти.

Рис. 5.10.

г) якщо А=В , а Δφ=π/2, або 3π/2, то еліпс перетворюється в коло радіуса R=A=B.

Рис. 5.11.

Висновок. Додавання двох взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти приводить в загальному випадку до руху точки по еліпсу. В деяких випадках еліпс може виродитись в відрізок прямої або коло. При інших співвідношеннях частот коливань, що додаються, траєкторії результуючих коливань мають більш складну форму. Ці складні лінії називаються фігурами Ліссажу.