2.9.2.Основные характеристики случайных процессов

2.9.2.1.Нестационарные процессы

Основные характеристики.

1. Одномерная плотность вероятности p(х,t).

2. Двухмерная плотность вероятности p (x₁, x₂; t₁, t₂).

в сечении t или средним по ансамблю (т.е. множеству) реализаций. Для нестационарного процесса его среднее значение (или постоянная составляющая ) изменяется во времени.

Функция называется центрированной.

Очевидно, .

4. Момент второго порядка

Этот момент дает среднее по ансамблю значение квадрата случайной величины в сечении t.

5. Начальный (т.е. центрированный) момент второго порядка

Второй начальный момент называют дисперсией D(t).

такую характеристику, как среднеквадратическое отклонение

Очевидно,

6. Начальный смешанный момент второго порядка

Очевидно, при t₂= t₁ имеем R(t₁,t₁) = D(t₁).

Второй смешанный начальный момент называют корреляционным моментом или корреляционной функцией (КФ). Эта функция характеризует статистическую связь между сечениями t₁ и t₂ случайного процесса. С ростом интервала  = t₂t₁ эта связь убывает.

Часто пользуются нормированной корреляционной функции (НКФ)

при t₁=t₂ функция .

Теория случайных процессов, в которой используются моменты не более второго порядка  это корреляционная теория.

2.9.2.2.Стационарные процессы

Основные характеристики.

1. Одномерная плотность вероятности (рис.2.54)

p(х,t) = p(x,t+t) = p(x).

Она не зависит от места сечения t.

2. Двухмерная плотность вероятности p(x₁,x₂,), где  t₂t₁, т.е. зависит от величины интервала рис.2.55).

3. Первый момент, или математическое ожидание (см. рис.2.54)

.

Случайный процесс называется центрированным.

4. Момент второго порядка

5. Второй начальный момент, или дисперсия

6) корреляционный момент, или корреляционная функция (КФ)

Для случайного процесса X(t) КФ характеризует статистическую связь между двумя сечениями и , разделенными интервалом  (рис.2.57). С ростом данного интервала эта связь убывает. Очевидно, при 0 имеем R(0)=D.

Рис.2.57

R()  убывающая и четная функция, т.е. R() = R(-) и R() 0 при  (см. рис.2.57).

Определение нормированной корреляционной функции принимает вид

; при =0 имеем (0)=1.

Можно ввести понятие корреляционной функции и для нецентрированного случайного процесса, а именно

Функции В() и R() связаны соотношением

7. Интервал корреляции _k. Под ним понимается величина (рис.2.59)

.

Рис.2.59

Максимальный интервал корреляции _м.к. соответствует значению (_м.к.)=0,05 (рис.2.59).

При сечения А и В (рис.2.60) статистически связаны, т.е. коррелированы.

Рис.2.60

При сечения А и В практически некоррелированы, т.е. статистически не связаны. Это значит, что случайные величины Х(t) и Х(t_кпрактически независимы.

2.9.3.Эргодическое свойство стационарных процессов

Различают два понятия средних значений:

а) среднее к-го порядка по ансамблю 

б) среднее к-го порядка по времени одной реализации 

Стационарные случайные процессы, для которых усреднение по ансамблю и усреднение по времени эквивалентны, называются эргодическими. Итак, для эргодических процессов имеем .

Свойство эргодичности позволяет дать физическое толкование некоторых числовых характеристик. Пусть х(t)  ток или напряжение на сопротивлении R=1 Ом. Тогда:

P^*_ = D^*  оценка средней мощности флюктуаций;

4)  эффективное или действующее значение флюктуаций, т.е. переменной составляющей тока или напряжения.

Для эргодичного процесса корреляционная функция будет равна

,

где R*()  оценка корреляционной функции,

.

Эта оценочная формула определяет структуру и алгоритм работы прибора для измерения корреляционной функции эргодического процесса.