2.6.Примеры детерминированных сигналов и их математическое описание

1. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (рис.2.14).

Рис.2.14

Основные параметры последовательности импульсов: U  амплитуда;   длительность; T  период. Дополнительные параметры:

 скважность,  коэффициент заполнения.

Математическая запись в форме аналитической функции:

На основании формулы (2.4.3) для прямого преобразования Фурье найдем комплексный спектр

Рис.2.15

Выражение в квадратных скобках обозначим как  функция отсчетов (рис.2.15), принимающая нулевые значения в точках при k=1,2,...

Итак, , так как .

Из формулы видно, что  действительная величина . Такую величину можно представить в виде одного графика (рис.2.16).

Рис.2.16

Пусть параметры сигнала T=1/4c, =1/20c и q=1/5. Тогда для первого графика на рис.2.16 имеем: _k=k₁=2k/T=8k; ₁=8, ₂=16, ₃=24, ₄=32, ₅=40; Sa(kq)=Sa(k/5)=0 при k=5, 10, 15,... Первый нуль функции отсчетов будет в точке 40 на частоте ₅=40

Изменим параметры сигнала: T=1/2c, =1/20c и q=1/10. Тогда для второго графика на рис.2.16 получим _k=4k и Sa(kq)=Sa(k/10)=0 при k=10, 20, 30,... Здесь первый нуль функции отсчетов будет также в точке 40, но на частоте _=40В результате на интервале 40 в отличие от первого графика размещаются 10 спектральных линий, включая нулевую в точке 40.

Пример показывает, что с увеличением периода T частота основной гармоники уменьшается. В результате растет число гармоник на фиксированном интервале частот, например [0,40]. Другими словами, с увеличением  спектр становится плотнее. При этом амплитуды гармоник уменьшаются. Форма огибающей спектра не изменяется. Она зависит только от формы импульса.

В пределе при T   имеем одиночный импульс, т.е. непериодический сигнал. Спектр при T   становится сплошным и имеет вид огибающей спектра периодической последовательности импульсов.

Пример также показывает, что спектр четной функции x(t)  действительная функция, для описания которой достаточен один график.

Спектр нечетной функции x(t)  комплексная функция. Для описания этого спектра нужны два графика  спектр амплитуд и спектр фаз.

2. Одиночный прямоугольный импульс (рис.2.17).

Это непериодический сигнал. Аналитическая форма его записи:

Интегральное преобразование Фурье функции x(t) имеет вид

;

Спектральная функция является действительной функцией, т.е. F(j)=F(). Значит, спектр может быть представлен одним графиком (рис.2.18).

Рис.2.18

Так как F()  знакопеременная функция, то переход к амплитудному спектру (рис.2.18)

требует введения фазового спектра, несмотря на то, что функция

( = ,

иначе потом исходный сигнал x(t) не восстановить.

3. Функция отсчетов (рис.2.19).

x (t)= Sa(_ct)

Рис.2.19

Сравнение преобразования Sa(_ct)F(j с п.2.6.2 показывает еще одно свойство преобразования Фурье  свойство взаимности. Переменные t и  взаимно заменимы.

4. Односторонний экспоненциальный импульс.

.

Спектральная функция комплексна, так как x(t)  нечетная функция. Для ее представления нужны два графика  амплитудный и фазовый спектры (рис.2.20).

Рис.2.20

5. Единичный импульс (или дельта-функция).

Введем понятие дельта-функции. Рассмотрим прямоугольный импульс (t) (рис.2.21).

Для него условие нормировки имеет вид

единичная площадь.

Устремим   Функция называется дельта-функцией или единичным импульсом (рис.2.22). Согласно определению,

Площадь -импульса (условие нормировки).

Эта функция является абстрактным понятием, а именно математической идеализацией.

Дельта-функцию можно сдвигать по оси времени (рис.2.23). В общем случае

Дельта-функция (рис.2.24) обладает фильтрующими свойствами, т.е.

.

Очевидно, при t₀=0 имеем

Рассмотрим спектральное представление -функции (рис.2.25):

Рис.2.25

Дельта-функция имеет равномерный спектр. Она содержит все частоты с одинаковой плотностью амплитуд.

Единичный импульс, т.е. -импульс, широко используется как испытательный сигнал. Согласно обратному преобразованию Фурье его можно записать и в такой форме:

.

6. Постоянная функция (рис.2.26).

Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но в пределе имеет преобразование Фурье:

где  дельта-функция в частотной области.

Рис.2.26

7. Сигнум-функция (рис.2.27).

Это абсолютно неинтегрируемая функция, но в пределе имеет преобразование Фурье:

.

Рис.2.27

8. Единичная функция (рис.2.28).

Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но имеет преобразование Фурье. Часто используется как испытательный сигнал:

.

Рис.2.28

Связь между дельта-импульсом и единичной функцией:

9. Гармонический бесконечный сигнал Acos₀t, t.

Представление этого сигнала в форме рядов Фурье (рис.2.29):

.

Рис.2.29

Эта функция абсолютно неинтегрируемая, но в пределе имеет интегральное преобразование Фурье (рис.2.29):

.

10. Косинусоидальный импульс (рис.2.30).

Аналитически он представляется как (t)cos₀t, где (t)  видеоимпульс прямоугольной формы.

Рис.2.30