2.5.2.Корреляционная функция
В процессе проектирования измерительных систем для решения некоторых задач измерений возникает потребность в сигналах со специально выбранными свойствами. При этом выбор сигналов диктуется не технической простотой их генерирования и преобразования, а возможностью оптимального решения измерительной задачи.
Для количественной оценки степени различия сигналов x(t) и x(t-) применяют автокорреляционную функцию (АКФ) B() сигнала x(t). Ее определяют как скалярное произведение сигнала и его задержанной копии:
.
Если x(t) носит импульсный характер, то этот интеграл заведомо существует.
Основные свойства автокорреляционной функции:
1)
при=0
АКФ равна энергии сигнала;
2)
функция четная;
3)
при любом
модуль АКФ не превосходит энергии
сигнала.
В качестве примера рассмотрим вид АКФ прямоугольного видеоимпульса с амплитудой U и длительностью и (рис.2.13).
На рис.2.13 затененные
области показывают наложение сигналов,
при котором произведение x(t)x(t-)
отлично от нуля. Это будет при
.
Таким образом, АКФ является симметричной кривой с центральным максимумом, который всегда положителен. В зависимости от вида сигнала x(t) АКФ убывает монотонно или колебательно.
Установим связь между АКФ B() сигнала x(t) и его энергетическим спектром E(). Пусть сигнал имеет преобразование Фурье, т.е. . Тогда согласно теореме о временном сдвиге спектральная функция смещенного во времени сигнала x(t+) имеет вид
.
Выражая функцию x(t+) через обратное преобразование Фурье, можно записать АКФ в виде
.
Так как интеграл
есть
комплексно-сопряженная спектральная
функция и произведение
,
то получим
.
Отсюда следует, что АКФ является обратным преобразованием Фурье энергетического спектра E(). Очевидно, будет справедливо и прямое преобразование Фурье:
Итак, энергетический
спектр E()
и автокорреляционная функция B()
связаны преобразованием Фурье,
т.е.
.
Таким образом, можно оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения энергии по спектру. Чем шире полоса частот сигнала, тем уже по времени АКФ. Сигнал с узкой АКФ лучше с точки зрения возможности точного измерения момента совпадения двух одинаковых по форме сигналов x(t-i) и x(t-) при изменении задержки i (см. систему обработки на рис.2.12). Поэтому при проектировании таких систем зондирующий сигнал целесообразно выбирать широкополосным.
В принципе можно решать задачу синтеза сигнала с заданными корреляционными свойствами. Примером сигналов с наилучшей структурой АКФ могут служить дискретные сигналы (коды) Баркера. Корреляционные свойства этих сигналов оптимальны применительно к решению задачи обнаружения сигнала и измерения его параметров в радиолокации.
Два сигнала x(t) и y(t) могут отличаться как по своей форме, так и взаимным расположением на оси времени. Для оценки этих различий применяют взаимно корреляционную функцию (ВКФ) Bxy(). ВКФ двух вещественных сигналов x(t) и y(t) определяется как скалярное произведение вида
.
Основные свойства взаимно корреляционной функции:
1)
;
2)
нечетная функция;
3)
ограниченная функция (следует из
неравенства Коши
Буняковского);
4) в отличие от АКФ
при
ВКФ необязательно имеет максимум.