4. Свойство временного сдвига (теорема запаздывания).

Если , то , где t₀  время запаздывания. Доказательство подобно свойству 3 при .

Выразим спектральную функцию через спектры амплитуд и фаз. Тогда получим:

, где .

Итак, при сдвиге на t₀ амплитудный спектр не изменяется. Изменится только спектр фаз на величину .

5. Спектры производной и интеграла.

Если , то

Доказательство:

,

где  спектральная функция производной.

Учитывая равенство , можно подобным образом доказать второе соотношение.

6. Свойство частотного сдвига (теорема о переносе спектра).

Если , то .

Действительно, выполняя преобразование Фурье сигнала , получим:

.

Таким образом, умножение на функцию во временной области эквивалентно сдвигу на в частотной области. В результате такого умножения весь спектр переносится на частоту .

Обычно перенос спектра осуществляется умножением сигнала x(t) на косинусоидальный сигнал . Этот сигнал согласно формуле Эйлера можно выразить суммой экспонент. Поэтому умножение x(t) смещает весь частотный спектр сигнала x(t):

.

Отсюда следует

.

Пример переноса спектра (рис.2.10).

Рис.2.10

7. Теорема о свертке.

Свёрткой двух функций называется интеграл вида

,

где  знак операции свёртки функций.

Если и , то

а) ,

т.е. свертка двух функций во временной области эквивалентна перемножению их спектров в частотной области;

б) ,

т.е. перемножение двух функций во временной области эквивалентно свертке их спектров в частотной области.

2.5.Энергетические характеристики сигналов

2.5.1.Энергетический и мощностный спектры

Как известно, в электротехнике мощность P и энергия E определяются выражениями

,

где U  напряжение; I  ток; R  сопротивление; t_m  время наблюдения. Эти энергетические характеристики пропорциональны квадрату напряжения или тока.

Пусть есть напряжение (или ток) на сопротивлении R = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области мгновенная мощность, средняя мощность и энергия будут равны:

,

где обозначение означает усреднение по времени квадрата сигнала.

Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодом T=t_m, то среднюю мощность можно находить, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:

 для ряда (2.4.1);

 для ряда (2.4.2);

 для ряда (2.4.4).

Часто сигнал задается на бесконечном интервале . Тогда

.

Здесь различают два вида сигналов:

Пусть и энергетический сигнал . Выразим энергию сигнала через его частотную характеристику. Для этого в выражении x²(t) одну из функций представим в виде обратного преобразования Фурье. Тогда энергия сигнала

.

Изменим порядок интегрирования. Тогда

.

Внутренний интеграл в квадратных скобках имеет вид

 комплексно-сопряженная функция.

Так как , где A()  амплитудный спектр, то окончательно получим

.

Это соотношение называется равенством Парсеваля (или теоремой Рейли).

Величина  это доля энергии сигнала, приходящаяся на полосу частот .

Функция называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в 1 рад/с.

Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Пусть функция x(t) задана на конечном интервале t_m и имеет спектральную функцию

.

Тогда энергия сигнала конечна и равна

.

Средняя мощность при будет

,

где  спектральная плотность мощности.

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз будут иметь одинаковые спектры плотности мощности.

Данному сигналу соответствует единственный спектр плотности мощности. Обратное утверждение неверно: один и тот же спектр плотности мощности соответствует большому числу сигналов.