2.3.2.Скалярное произведение сигналов

Понятие скалярного произведения элементов x(t) и y(t) линейного пространства позволяет определять угол между двумя векторами (сигналами).

Пусть в обычном трехмерном пространстве известны два вектора и (рис.2.3) . Тогда квадрат модуля их суммы имеет вид

По аналогии с векторной алгеброй найдем энергию суммы двух сигналов x(t) и y(t):

. (2.3.2)

В отличие от самих сигналов их энергии неаддитивны. Здесь энергия суммарного сигнала содержит в себе так называемую взаимную энергию

.

Сравнение (2.3.1) и (2.3.2) дает определение скалярного произведения вещественных сигналов x и y в пространстве L²:

.

Косинус угла между сигналами x и y:

.

При этом справедливо фундаментальное неравенство Коши  Буняковского

.

Таким образом, для линейного вещественного пространства скалярное произведение функций x(t) и y(t) имеет вид

и норма, выраженная через скалярное произведение, будет

.

Скалярное произведение комплексных сигналов x(t) и y(t) в гильбертовом комплексном пространстве L² определяется по формуле

,

причем .

2.3.3.Понятие ортогональных сигналов и обобщенного ряда Фурье

Два сигнала x(t) и y(t) называются ортогональными, если их скалярное произведение, а значит, и взаимная энергия равны нулю, т.е.

.

Пусть в гильбертовом пространстве сигналов L² на отрезке времени [t₁,t₂] в качестве координатного базиса задана бесконечная система функций . Пусть норма функций и функции ортогональны друг другу. Тогда скалярное произведение принимает вид

В этом случае говорят, что в пространстве сигналов задан ортонормированный базис.

Произвольный сигнал x(t)L² можно разложить по координатному базису в ряд:

. (2.3.3)

Такое разложение называют обобщенным рядом Фурье сигнала x(t) в выбранном базисе. Коэффициенты этого ряда (координаты сигнала) определяют следующим образом. Умножим обе части разложения в ряд (2.3.3) на произвольную базисную функцию . Затем проинтегрируем результаты по времени:

Так как базис ортонормирован, то правая часть этого равенства будет равна a_{j .} Отсюда следует

. (2.3.4)

Выражения (2.3.3) и (2.3.4) определяют представление сигналов посредством обобщенных рядов Фурье.

2.4. Спектральное представление сигналов

Это представление лежит в основе спектрального анализа. Под ним понимают представление функции x(t) в виде ряда или интеграла Фурье.

2.4.1.Периодические сигналы

Условие периодичности имеет вид

x(t) = x(t+mT),

где T  период; m=1, 2, ...  натуральное число.

Любой периодический сигнал, удовлетворяющий условиям Дирихле (функция ограничена, кусочно-непрерывная и имеет конечное число экстремумов), может быть представлен тригонометрическим рядом Фурье

(2.4.1)

где  угловая частота 1-й или основной гармоники;

 коэффициенты разложения, вычисляемые по формулам:

; ; ;

; ;

 амплитуда k-й гармоники;  фаза k-й гармоники;  среднее значение сигнала (постоянная составляющая).

Ряд (2.4.1) представляет функцию как сумму гармонических составляющих. В некоторых случаях более удобна комплексная форма ряда Фурье. Ее можно получить на основании формулы Эйлера

при , введя обозначения

 комплексная амплитуда k-й гармоники (содержит информацию о фазе и амплитуде);

 комплексно-сопряженная амплитуда.

В комплексной форме ряд (2.4.1) будет иметь вид

. (2.4.2)

Коэффициенты ряда (2.4.2) вычисляются по формуле

. (2.4.3)

Формулы (2.4.2) и (2.4.3)  пара преобразований Фурье. Совокупность коэффициентов  комплексный спектр периодического сигнала x(t). Совокупность величин  спектр амплитуд. Совокупность величин  спектр фаз.

Спектры амплитуд и фаз можно представлять графически в виде спектрограмм. Например, согласно ряду (2.4.1), вид спектрограмм следующий (рис.2.5).

Рис.2.5

Очевидно, спектры периодических сигналов дискретны.

На практике часто достаточно знать лишь амплитудный спектр. Однако для перехода от спектрального представления к временному обязательно нужно знать спектр амплитуд и спектр фаз (рис.2.6).

Рис.2.6

Ряд (2.4.2) удобно представлять в форме

, где (2.4.4)

. (2.4.5)

Спектрограммы, полученные на основании рядов (2.4.1) и (2.4.3) или (2.4.4) отличаются. Различие следующее:

спектр (2.4.1) односторонний (k и k_только положительные величины);

спектр (2.4.5) двусторонний (k и k_ имеют положительные и отрицательные значения) (рис.2.7).

Поэтому амплитуды спектра на основе ряда (2.4.1) в два раза больше амплитуд спектра (2.4.5) на основе ряда (2.4.4).

Рис.2.7

Физическое представление отрицательных частот  математическая абстракция. Область отрицательных частот нельзя отбрасывать. При различных преобразованиях спектра это приводит к ошибкам.