2.10.Аппроксимация детерминированных сигналов

2.10.1.Постановка задачи и общие понятия

Основная задача аппроксимации формулируется таким образом. Пусть функция , – полная модель сигнала. Требуется найти оценочную функцию , т. е. неполную модель сигнала. Оценка должна воспроизводить функцию с заданной точностью.

Для решения этой задачи нужно прежде всего:

1) сконструировать оценочную функцию ;

2) выбрать критерий для оценки погрешности аппроксимации или воспроизведения.

Общепринятой неполной моделью является обобщенный усеченный полиномиальный ряд Фурье, называемый приближающей или аппроксимирующей функцией

, (2.10.1)

где – система линейнонезависимых базисных функций; – коэффициенты или координаты сигнала, зависящие от вида функции ; – число членов ряда, или степень полинома (2.10.1).

Система функций линейно независима, если ни одна из функций не может быть выражена линейной комбинацией остальных функций.

Другими словами, система линейно независима, если равенство

,

где – некоторые числовые коэффициенты, удовлетворяется лишь в единственном случае, когда все коэффициенты одновременно равны нулю.

Согласно теореме Грамма, для того чтобы система , была линейно независима, необходимо и достаточно, чтобы определитель Грамма был отличен от нуля, т. е.

, где .

Процесс воспроизведения функции посредством усеченного полинома (2.10.1) называется аппроксимацией.

Способ аппроксимации характеризуется:

1) видом базисных функций и видом координат ;

2) степенью аппроксимирующего полинома (2.10.1).

В качестве базиса можно взять определенную систему ортогональных или неортогональных функций. В результате получают ортогональную аппроксимацию и неортогональную аппроксимацию.

Выбор базиса и координат определяет тип аппроксимирующего полинома и характер аппроксимации. По характеру аппроксимации различают экстраполяцию, интерполяцию и ортогональное приближение.

Погрешность аппроксимации зависит от степени приближения функции усеченным полиномом . Качество этого приближения устанавливается по одному из критериев:

1) критерию равномерного приближения

пространство R;

2) критерию среднеквадратичного (т. е. степенного) приближения

 пространство L²;

3) критерию интегрального приближения

.

Здесь – функция погрешности аппроксимации; – модуль допустимой погрешности равномерного приближения; и – средняя и среднеквадратичная допустимые погрешности приближения.

Выбор критерия производится априорно в зависимости от требований потребителя информации. Наиболее “жестким” является критерий равномерного приближения. Он позволяет с помощью оценки воспроизвести все выбросы функции .

2.10.2.Ортогональная аппроксимация

В этом случае, как правило, выбирается критерий среднеквадратичного приближения и некоторая система ортогональных базисных функций .

Координатами функции являются коэффициенты ее разложения в ряд по системе базисных функций . Возможен также выбор в качестве координат мгновенных значений (отсчетов) функции , k=0, 1 и т.д.

Условие ортогональности функций имеет вид

где – интервал ортогональности; – некоторая весовая функция; – норма k-й базисной функции.

При имеем ортогональность функций с весом. Для некоторых систем вес . Если норма , то базис кроме ортогональности является еще и нормированным. А в целом – это ортонормированный базис.

Известно много систем ортогональных функций. Например, полиномы Чебышева, Лежандра, Котельникова, Лагера, Эрмита, Якоби, Уолша, Хаара и др. Примером ортонормированных функций с весом может служить базис тригонометрического ряда Фурье:

.

Ортогональное разложение дает наименьшую среднеквадратичную погрешность, когда коэффициенты разложения вычисляются как обобщенные коэффициенты Фурье функции , т.е.

. (2.10.2)

Представление сигнала рядом (2.10.1) с коэффициентами (2.10.2) является оптимальным, так как минимизирует число координат и погрешность .

Рассмотрим выбор ортогональных функций. Следует выбирать систему функций, которая обеспечивает быструю сходимость ряда (2.10.1). В результате при заданной погрешности аппроксимации будет наименьшее число членов ряда (степень n). Однако в технике решающим фактором является простота генератора базисных функций ГБФ. Этому условию удовлетворяют тригонометрические функции, функции Уолша и Хаара. Этим объясняется их широкое применение.