2.9.4.Спектральное представление стационарных процессов

Пусть х(t)  реализация эргодического процесса. Для нее подобно мощностным детерминированным сигналам можно найти спектральную плотность мощности (см. энергетические характеристики детерминированных сигналов)

.

Квадрат модуля спектральной функции

,

где  комплексно-сопряженная спектральная функция реализации

 спектральная функция при .

Пусть переменная z = t + , где новая переменная, причем d= dz. Тогда

.

Спектральную плотность мощности можно представить в виде

Таким образом, спектральная плотность мощности S() эргодического процесса есть прямое преобразование Фурье для корреляционной функции R(). Если существует прямое преобразование, то существует и обратное преобразование:

Эта пара преобразований, связывающая функции R() и S(), называется преобразованием Хинчина Винера. Они доказали, что такое преобразование справедливо для всех стационарных процессов, а не только для эргодических.

Спектральная плотность мощности S() (рис.2.63)  функция действительная, четная, т.е. S()=S(-), определена на частотах  и положительная  S()>0.

Функцию S() иногда называют энергетическим спектром случайного процесса. Этот спектр не несет информации о фазовых соотношениях. По нему нельзя восстановить реализацию процесса как функцию времени.

Функции R() и S() обладают всеми свойствами пары преобразований Фурье. В частности, чем шире спектр S(), тем уже корреляционная функция R().

Процесс, у которого S() = S₀ = const (рис.2.64), называется “белым шумом”.

Рис.2.54

Корреляционная функция белого шума

Так как R()  функция четная, то пару преобразований Хинчина Винера можно записать в другой форме:

2.9.5.Прохождение стационарных случайных сигналов через линейные устройства

Понятие переходного и стационарного режимов устройства (рис.2.55).

Рис.2.65

При t = 0 имеем x(0) и y(0) = 0  нулевые начальные условия. Случай, когда динамическая погрешность (t)=var (tt_у), соответствует переходному режиму, а случай, когда (t)=const (tt_у), соответствует стационарному режиму.

Рассмотрим теперь воздействие случайных сигналов на линейные устройства (рис.2.66). Пусть линейное устройство характеризуется комплексным частотным коэффициентом передачи K(j) и импульсной (весовой) функцией g(t).

Рис.2.66

В момент t = 0 замыкается ключ К и на вход устройства подается стационарный процесс X(t). Начинается переходной режим. В этом режиме на выходе будет нестационарный процесс. Через время t_у устанавливается стационарный режим, при котором Y(t)  стационарный процесс.

Обычно решается следующая типичная задача. Известны математическое ожидание m_1x и корреляционная функция R_x() входного процесса. Требуется найти m_1y и R_y() для выходного процесса. При этом возможны два условия:

1. изучение нестационарного и стационарного режимов;

2. изучение только стационарного режима.

Первое условие. Здесь для решения задачи при нулевых начальных условиях нужно использовать дифференциальные уравнения. Для нулевых условий следует использовать весовую функцию g(t).

Выходной сигнал определяется интегралом свертки

Отсюда следует:

1) ,

стационарное значение функции будет при ;

2) ,

стационарное значение будет при и .

Если в выражении для функции последовательно сделать замену переменных, а именно сначала и , а затем и , то это выражение приводится к виду

.

Отсюда при следует стационарное значение

.

Второе условие. Когда интересуются только стационарным режимом, то применяют комплексный коэффициент передачи K(j) (рис.2.67).

Рис.2.67

Спектральная плотность мощности выходного сигнала

где  амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства.

Среднее значение выходного сигнала

m_1y = K(0)m_1x.

Корреляционная функция

.

Дисперсия выходного сигнала

В заключение следует отметить, что задача определения плотности вероятности выходного сигнала в общем виде не решается. В частном случае, когда Х(t)  нормальный процесс, выходной сигнал Y(t)также является нормальным процессом.