Задача № 3

Человек, проходящий мимо киоска, покупает газету с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа:

а) купят газету 90 человек;

б) не купят газету от 300 до 340 человек (включительно).

Решение.

Здесь мы имеем дело с независимыми испытаниями, каждое из которых заключается в прохождении мимо киоска человека. Число испытаний в нашем случае .

а) Вычислить искомую вероятность появления события ровно 90 раз в 400 испытаниях по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Искомую вероятность можно вычислить, используя асимптотическую (приближённую) формулу Муавра – Лапласа.

Воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа:

если вероятность наступления события в каждом из испытаний постоянна и отлична от 0 и 1, а число независимых испытаний достаточно велико, то вероятность вычисляется по приближённой формуле , где

– вероятность наступления события в каждом из испытаний,

– вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,

– функция Гаусса.

Пусть событие состоит в том, что человек, проходящий мимо киоска, покупает газету; вероятность наступления события в каждом из испытаний ; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний ; число испытаний .

Значит вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа, купят газету 90 человек:

.

По таблице значений функции Гаусса находим: .

Следовательно, .

б) Воспользуемся интегральной теоремой Муавра – Лапласа:

вероятность того, что событие появится в независимых испытаниях от до раз вычисляется по формуле , где

– вероятность наступления события в каждом из испытаний,

– вероятность ненаступления события в каждом из испытаний,

– функция Лапласа.

Пусть событие состоит в том, что человек, проходящий мимо киоска, не покупает газету; вероятность наступления события в каждом из испытаний ; вероятность ненаступления события в каждом из испытаний ; число испытаний ; , .

Значит вероятность того, что из 400 человек, прошедших мимо киоска в течение часа, не купят газету от 300 до 340 человек (включительно):

.

По таблице значений функции Лапласа находим: .

Следовательно, .

Ответ: а) ; б) .

Задача № 4

Пульт охраны связан с тремя охраняемыми объектами. Вероятность поступления сигнала с этих объектов составляет 0,2; 0,3 и 0,6 соответственно. Составить закон распределения случайной величины – числа объектов, с которых поступит сигнал. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение.

Дискретная случайная величина – число объектов, с которых поступит сигнал, – имеет следующие возможные значения: , , , .

Найдём вероятности , , , этих возможных значений.

Х
Р

Искомый закон распределения дискретной случайной

величины , соответственно, будет иметь вид:

Обозначим:

– событие, которое заключается в том, что с 1-ого объекта поступил сигнал;

– событие, которое заключается в том, что со 2-ого объекта поступил сигнал;

– событие, которое заключается в том, что с 3-его объекта поступил сигнал.

По условию: ; ; .

Событие , противоположное событию , состоит в том, что с 1-ого объекта не поступил сигнал; .

Событие , противоположное событию , состоит в том, что со 2-ого объекта не поступил сигнал; .

Событие , противоположное событию , состоит в том, что с 3-его объекта не поступил сигнал; .

Число объектов, с которых поступит сигнал, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Число объектов, с которых поступит сигнал, в случаях совместного появления либо событий , и , либо событий , и , либо событий , и . Поэтому, учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей получаем:

.

(здесь мы также применили теорему умножения вероятностей, учитывая независимость событий , и ).

Число объектов, с которых поступит сигнал, в случае совместного появления либо событий , и , либо событий , и , либо событий , и . Поэтому, учитывая несовместность событий , и , по теореме сложения вероятностей получаем:

.

(здесь мы также применили теорему умножения вероятностей, учитывая независимость событий , и ).

Число объектов, с которых поступит сигнал, только в случае совместного появления событий , и . Поэтому, учитывая независимость событий , и , по теореме умножения вероятностей получаем:

.

Сумма вероятностей .

Таким образом, искомый закон распределения дискретной случайной величины

	0	1	2	3
	0,224	0,488	0,252	0,036

имеет вид:

Вычислим числовые характеристики случайной величины (параметры распределения):

Математическое ожидание дискретной случайной величины :

.

Дисперсия дискретной случайной величины :

, где .

, значит

.

	0	1	2	3
	0,224	0,488	0,252	0,036

Ответ: ; ; .