Курс предпринимательства / Абчук - Курс предпринимательства

142 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Поскольку 1013 0, исходный план неоптимален. Переходим ко второму шагу.

Из выражения (6.32) находим наибольший коэффициент 1013,

соответствующий переменной õ5, которая вводится в базис. Затем описанным выше путем устанавливается переменная õ4,

подлежащая исключению из базиса.

Значения других переменных рассчитываются по формуле

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 143

Таким образом, мы получили следующие значения переменных для второго, улучшенного плана:

x1 94 ; x2 5; x3 62; x4 7; x5 0; x6 0.

Это уже знакомый нам первый допустимый план, которому соответствует точка À на графике рис. 6.1, и т. д.

Ниже приводится ряд задач, решаемых с помощью линейного программирования, которые иллюстрируют возможности данного метода и приемы решения.

Пример 6.2

Рассмотрим некую производственную ситуацию. Например, организация, занимающаяся механизацией трудоемких работ, располагает набором однородных технических средств в количе- стве 30 единиц, которые размещаются в трех базах: А1, À2, À3. Ïðè ýòîì áàçû À1 è À2 имеют по 11 единиц техники, а база А3 — 8 единиц. Использование этой техники планируется на четырех объектах Б1, Á2, Á3, Á4. Причем объект Б1 нуждается в 5 единицах, объекты Б2 è Á3 — в 9 единицах каждый, а объект Б4 — в 7 единицах техники.

Эффективность эксплуатации технических средств во многом зависит от того, насколько интенсивно они используются, т. е. чем меньше простои, тем выше эффективность. В данном случае простой машин определяется главным образом тем, на каком объекте они работают. Например, машины базы А3, занятые на объекте Б1, простаивают в среднем 6 ч в неделю, а те же машины на объекте Б3 бездействуют лишь 1 ч в неделю.

144 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Общая картина использования техники с указанием ее нали- чия в базах и потребностей на объектах показана в табл. 6.2.

Таблица 6.2

Простои машин (в часах за неделю)

Решение

Необходимо разработать такой план распределения машин по объектам, при котором суммарное время простоя техники окажется наименьшим. Это будет так называемая транспортная зада- ча математического программирования. Одним из наиболее распространенных методов решения подобных задач является метод потенциалов. Прежде всего составляем исходный план распределения машин по объектам.

В правые верхние углы клеток таблицы поместим цифры простоя машин, освободив тем самым нижнюю половину клеток для цифр, характеризующих количество распределяемых единиц техники.

Первоначально заполняется первая строка плана. Очевидно, что распределение целесообразно выполнить по тому направлению, где время простоя минимально, т. е. А1Á4. Здесь время простоя (обозначим его С14) равно 3 ч. Количество машин на этом направлении устанавливается как минимальное из их общего коли- чества, имеющегося на А1 и потребного для Б4, и равняется 7. Таким образом, достигается либо полный расход техники данной базы, либо полное насыщение данного объекта. В рассматриваемом случае полностью насыщается объект Б4 (для памяти подчеркнем).

После указанной операции на базе А1 остаются 4 единицы, которые записываем в скобках рядом с цифрой 11. Этот остаток целесообразно направить на объект Б3, поскольку простои по на-

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 145

правлению А1Á3 будут минимальными из оставшихся. Теперь все ресурсы базы A1 оказываются исчерпанными (A1 можно подчеркнуть), а на объекте Б3 остается потребность в 5 единицах (эта циф-

ра записывается рядом с 9 в скобках).

Поскольку все ресурсы базы А1 израсходованы, переходим ко второй строке плана, где описание операций повторяется и т. д.

Таблица 6.3

Первый план (исходный)

В результате получаем первый, или исходный, план распреде-

ления машин по объектам (табл. 6.3).

Чтобы определить оптимальность полученного плана, время простоя, характеризующее эффективность решаемой задачи, будем рассматривать в качестве некоторой стоимости: чем время

простоя меньше, тем меньше и стоимость работы.

Вводим понятие потенциала. Потенциалами являются некоторые числа uÀi è uÁj, приписываемые соответственно базам и объектам, сумма которых для клеток плана, содержащих цифры распределенных машин, равна стоимости результата времени простоя, то есть

а для тех клеток, где распределения нет, эта сумма будет не более стоимости результата, то есть

План, все клетки которого отвечают условиям (6.34), (6.35), является оптимальным.

146 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Чтобы определить оптимальность указанного исходного плана, вначале рассчитаем и внесем в табл. 6.3 значения потенциалов баз и объектов.

Примем, что uÀi = 0, тогда

uÁ3 = ñ13 — uAi = 5 — 0 = 5; uÁ4 = ñ14 — uÀi = 3 — 0 = 3; uA3 = c33 — uÁ3 = 1 — 5 = —4; uÁ3 = ñ23 — uÀ3 = —3 (—4) = 7; uÀ2 = ñ22 — uÁ2 = 4 — 7 = —3; uÁ1 = ñ21 — uÀ2 = 2 — (—3) =5.

Проверим теперь, соблюдается ли условие потенциальности для свободных клеток. Просуммируем для каждой из них соответствующие потенциалы баз и объектов и сравним полученные зна- чения с временем простоя, проставленным в правых верхних углах клеток.

Суммы потенциалов для свободных клеток называются псевдостоимостями и обозначаются Ñij. Их записывают в левых верхних углаx клеток.

Из выражений (6.34) и (6.35) следует, что для оптимального варианта плана: Cij — Cij 0. Как видно из табл. 6.3, условие (6.34) выполняется для всех свободных клеток. Следовательно, этот план оптимальный.

В случае, если условие оптимальности не соблюдено, план подлежит улучшению.

Пример 6.3

Допустим, что производственное предприятие располагает че- тырьмя бригадами рабочих-специалистов определенного профиля: условно А1, À2, À3, À4. Специалисты из этих бригад распределяются по пяти различным видам работ: условно Б1, Á2, Á3, Á4, Á5. От того, как будут распределены по этим видам рабочие, зависит в первую очередь качество продукции.

При составлении конкретного плана распределения рабочихспециалистов целесообразно применять математическое программирование.

Прежде всего составляется таблица исходного плана (табл. 6.4), подобная рассмотренной выше. В качестве стоимостей и псевдостоимостей в данном случае выступают стоимости бракованной

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 147

продукции, получаемой при данном распределении рабочих по видам работ.

Здесь в трех клетках — А1Á5, À2Á1 è À4Á5 — псевдостоимости оказываются большими, чем соответствующие стоимости (эти неравенства подчеркнуты). Таким образом, условие оптимальности не соблюдается и, следовательно, план требует улучшения. Для этого необходимо ввести распределение рабочих в ту из клеток, где имеются наибольшие нарушения условий оптимальности, то есть где разность между псевдостоимостью и стоимостью наибольшая (она подчеркнута двойной чертой в клетке А2Á1).

Таблица 6.4

Первый план (исходный)

Чтобы при заполнении A2Á1 не был нарушен общий баланс распределения, необходимо перераспределение специалистов выполнить так, чтобы сумма ресурсов рабочих по всем горизонталям

èвертикалям сохранялась. Достигается это тем, что рабочие перераспределяются лишь в пределах определенного контура, начало

èконец которого находится в полученной свободной клетке А2Б (отмечен штриховой линией). Изменение направления контура следует производить в тех клетках, где есть распределение. При- чем необходимо стремиться к тому, чтобы поворотные клетки, лежащие на одной горизонтали и вертикали со свободной клеткой, содержали работы наибольшей стоимости (с наибольшим браком). Это выгодно, так как количество рабочих в указанных клетках будет уменьшаться на h человек для компенсации нового распределения в клетке А2Á1. Тем самым брак будет уменьшаться.

148 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Для соблюдения общего баланса добавляют h рабочих в клетку A4Á2. В контуре происходит чередование знаков дополнительного распределения h в поворотных клетках: в клетке А2Á1 — плюс, в клетке А2ÁÀ — минус и т. д. Величина дополнительного количества рабочих h должна избираться таким образом, чтобы ни одно из распределений не становилось отрицательным. В данном случае h1 = 9.

Таблица 6.5

Второй план (улучшенный)

После распределения рабочих в контуре получим второй план, который вследствие более рационального распределения специалистов будет лучше исходного (табл. 6.4).

Общая стоимость брака по первому плану (ó) составляла:

2 7 8 12 5 4 309.

После улучшения плана стоимость брака y уменьшилась на следующую величину:

ó = Ñ21h1 — C22h1 + C42h1 — C41h1 = h1 (C21 — C22 + C42 — C41) =

= (3 — 3 + 5 — 8) 9 = 27.

Общая стоимость брака по второму плану (y2) будет: y2 = y1 –

– ó = 309 – 27 = 282.

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 149

При проверке второго плана на оптимальность устанавливаем, что условие оптимальности не соблюдено в клетках А1Á5 è À4Á3, причем последняя из них имеет наибольшую разность между псевдостоимостью и стоимостью. Строим контур относительно указанной клетки (см. табл. 6.5). Величина дополнительного ко-

личества рабочих h2 = 3.

После перераспределения рабочих получим третий план (табл. 6.6), который экономичнее второго на величину ó: ó = = (Ñ43 – Ñ41 + Ñ21 – Ñ23)h2 = (4 – 8 + 3 – 2) 3 = –9.

Таблица 6.6

Третий план (оптимальный)

Стоимость брака по третьему плану, таким образом, равна: ó3 =

= y2 – ó = 282 – 9 = 273.

Проверка условия оптимальности показывает, что третий

план является оптимальным.

Заметим, что оптимизация плана распределения рабочих-спе- циалистов по видам работ привела к сокращению брака (по его

стигнуто без ввода каких-либо дополнительных ресурсов, исклю- чительно за счет составления обоснованного плана.

Пример 6.4

Имеется m (i = 1, 2, ..., m) инвестиционных возможностей (вариантов проектов), которые можно реализовать на n (j = 1, 2, ..., n)

150 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

объектах. Эффективность реализации каждой инвестиции на каждом из объектов (Ði) задана табл. 6.7.

Целевая функция, подлежащая максимизации (y), будет:

ãäå õij — искомые распределения инвестиций по объектам. Таким образом, по смыслу, величина y есть ожидаемый резуль-

тат от осуществления всех инвестиционных проектов. Ограниче- ния в данном случае будут:

i 1

означающее, что должны быть реализованы все проекты, и

j 1

означающее, что на каждом объекте может быть реализован лишь один проект. Кроме того, очевидно, что

Необходимо распределить проекты по объектам таким образом, чтобы суммарная эффективность от реализации всех проектов была максимальной.

Решение

Оптимизируемая функция, а также ограничивающие ее условия соответствуют данным, приведенным выше, при постановке

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 151

транспортной задачи. Это дает возможность применить метод потенциалов (несколько его видоизменив).

По аналогии с транспортной задачей вероятности поражения играют роль стоимости перевозок; каждой ракете соответствует как бы единичный запас груза, каждая цель нуждается в единице груза.

Исходя из сказанного, представим условие примера 6.4 в виде табл. 6.8.

Вначале составим исходный план, заполняя в первую очередь те клетки, где эффективность выше. Заполнение начинаем с первой строки. Схематическое изображение полученного исходного плана дано на рис. 6.2. Для первого плана математическое ожидание числа пораженных целей

ó1 = 0,50 + 0,71 + 0,76 + 0,81 + 0,27 = 3,05.

Чтобы улучшить исходный план методом потенциалов, прибегаем к следующему искусственному приему.

Внесем дополнительные «перевозки», выраженные в величи- нах , в каждую строку плана, одновременно изменив для сбалансирования плана единицы перевозок, стоящие в соответствующих вертикалях и горизонталях.

152 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

проекты

Ðèñ. 6.2

Для того чтобы такие действия не вызывали искажения плана, величина считается сколь угодно малой, и поэтому для плана добавление или исключение ее оказывается несущественным.

Перепишем исходный план с учетом вышеизложенных изменений (табл. 6.9).

Проверим первый план на оптимальность аналогично тому, как это делалось в предыдущих задачах.

Здесь условие оптимальности не соблюдается в тех клетках, где псевдостоимости меньше, чем стоимости (в клетках 1—II, 1—IV, 1—V, 2—IV, 2—V, 3—V).

Наибольшая разность в клетке 1—IV, в которую нужно внести дополнительную «перевозку» h1. Относительно указанной клетки

строим контур. Величина h1 = .

После перераспределения груза в контуре получим второй план, улучшенный по сравнению с исходным (табл. 6.10).

Проверим полученный план на оптимальность. Обнаружив, что он неоптимален, произведем его улучшение путем построения контура относительно свободной клетки 2—V.

Ïðè ýòîì h2 = .

Перейдем к третьему плану (табл. 6.11).

Дальнейшее улучшение плана выполняется аналогичным путем. Улучшенные планы сведены в таблицы. Четвертый — в табл. 6.12, пятый — в табл. 6.13, шестой — в табл. 6.14.

Последний, шестой план является оптимальным, ибо все разности между псевдостоимостями и стоимостями положительные.

Перепишем оптимальный план, исключив из него сколь угодно малые величины (табл. 6.15).