Курс предпринимательства / Абчук - Курс предпринимательства

182 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

В процессе операции имеющиеся ресурсы расходуются, вследствие чего по окончании каждого этапа количество ресурсов пер-

вого предприятия уменьшается до величины ay0 (0 a < 1), второ-

го — до величины b (x0 — y0), причем 0 b < 1. Здесь a è b — коэффициенты, показывающие, какая доля ресурсов сохраняется по окончании каждого этапа.

К началу каждого следующего этапа оставшиеся ресурсы перераспределяются между предприятиями.

Количество ресурсов, оставшихся к началу второго этапа операций (õ1), равно:

õ1 = ó1 + (õ1 — ó1),

f2 (x0, y0, y1) = g (y0) + h (x0 — y0) + g (y1) + h (x1 — y1). (6.81)

Аналогично, общая эффективность для n этапов операции

Необходимо распределить ресурсы между предприятиями на каждом этапе таким образом, чтобы общая эффективность операции была максимальной.

На первом круге расчетов находится условное оптимальное управление. На первом шаге (с конца) по формуле (6.74) опреде-

ляется эффективность )i для всех возможных значений õ îò 0 äî

õ0 = 7 ïðè ó õ0.

Результаты расчетов даны в табл. 6.28 (5-й столбец).

Далее для каждого õ определяется максимальное значение )1, а также значение y1, при котором этот максимум получается.

Максимальные значения )i в табл. 6.28 обведены прямоугольником и выписаны в отдельную табл. 6.29 (3-й столбец).

В этой же таблице выписаны соответствующие значения õ (1-й столбец) и ó1 (2-й столбец).

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 183

Таблица 6.28

Данные расчетов i

184 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

На втором шаге (с конца) по формуле (6.78) производится рас- чет ресурсов, оставшихся к началу этого шага (õ1), и вносится в табл. 6.28 (6-й столбец). Затем по полученным значениям õ1 с помощью табл. 6.29, путем интерполяции по õ, рассчитываются соответствующие значения f1(x) и вносятся в табл. 6.28 (7-й столбец).

Далее рассчитывается общая эффективность операции за два первых шага:

Результаты расчетов )2 помещаются в табл. 6.28 (8-й столбец).

Максимальные значения )2 в таблице обведены прямоугольником и выписаны вместе с соответствующими значениями ó2 в табл. 6.29 (4-й и 5-й столбцы).

На третьем шаге (с конца) аналогичным образом рассчитыва-

þòñÿ x2, f2(x), 3 = 1 + f2(x).

Поскольку для этого шага существует единственное значение

õ= õ0 = 7, то расчет производится только для случая õ = 7 (табл. 6.29). Из анализа таблицы видно, что условное оптимальное управ-

ление на третьем шаге, соответствующем максимальной эффективности (она обведена прямоугольником), равно 7. Это, как мы знаем, одновременно и оптимальное управление на этом шаге

U* = y* = 7.

Таблица 6.30

Данные расчетов

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 185

Начинается второй круг оптимизации (в обратном порядке). Поскольку вначале имеется õ0 = 7 и оптимальное управление на первом шаге (с начала) ó1* = 7, то, в соответствии с табл. 6.28, õ1 = 4,2. По этому значению õ1 в табл. 6.29 находим оптимальное

управление на втором шаге ó2* = 0. Аналогичным путем определяем ó3 = 3,8.

Итак, на первом этапе операции первому предприятию следует выделить все 7 единиц ресурсов, на втором этапе — 0 единиц и на третьем — 3,8 единицы. Это обеспечивает максимальную эффективность операции в целом, равную в соответствии с формулой (6.82)

W = 0,4 72 + (7 — 7) + 0,4 02 + (4,2 — 0) + 0,4 (3,8)2 +

+(3,8 — 3,8) = 19,6 + 4,2 + 5,8 + 29,6.

§2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ

Станковая задача

Представим себе группу из трех станков, каждый из которых может производить два типа деталей, назовем их условно деталями А и Б. Производительность каждого из станков по разным типам деталей, как правило, различна:

—станок ¹ 1 производит в одну минуту 5 деталей А или 5 деталей Б;

—станок ¹ 2 производит в одну минуту 6 деталей А или 2 детали Б;

—станок ¹ 3 производит в одну минуту 5 деталей А или 3 детали Б.

Задача осложняется тем, что требуется выполнить два важных условия, или, как говорят в математике, учесть два ограничения:

—ни один из станков не должен простаивать;

—продукция должна быть комплектна — то есть количество произведенных деталей А должно равняться количеству деталей Б (это, например, могут быть гайки и болты).

Несмотря на кажущуюся простоту задачи, ни одним из существовавших ранее методов она не решалась. Попробуем и мы, опуская некоторые несущественные подробности, решить столь поучительную задачу. Прежде всего попытаемся, как, наверное, сделали и те, кто впервые столкнулся с этой задачей, получить ее глазомерное решение.

Все расчеты будем производить исходя из общей продолжительности времени работы в 6 часов = 360 минут (одна смена). Попробуем на все это время загрузить станок ¹ 1 деталями А. Станки

186 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

¹ 2 и 3 также загрузим на все время работы, но деталями Б. Результат такого глазомерного решения изобразим следующим образом: слева от вертикальной черты покажем время загрузки станков по различным деталям, а справа — соответствующее количе- ство произведенной продукции (произведение времени работы на минутную производительность).

Итак, глазомерное решение (табл. 6.30).

Общее количество выпущенной продукции 1800 + 1800 = 3600 деталей

Глазомерное решение полностью отвечает поставленным условиям: во-первых, все станки полностью загружены в течение paбочего времени ; во-вторых, количество произведенных деталей А равно количеству деталей Б. Остается, однако, открытым главный вопрос планирования: является ли наше глазомерное решение наилучшим в данных условиях? Нельзя ли составить другой план распределения станков, который отличался бы от глазомерного наибольшей производительностью?

Обоснованием такого оптимального решения занимается математическое программирование. Суть метода удобнее всего выразить с помощью наглядного геометрического представления, графика (рис. 6.4). Здесь показан построенный по правилам математического программирования многоугольник 0АВСD (он заштрихован). Многоугольник соответствует условиям нашей зада- чи и представляет собой область допустимых планов распределения времени работы станков ¹ 2 и 3 над деталью А. По соответствующим осям графика отмечена продолжительность работы этих станков. (В своих расчетах мы вполне можем обойтись двумя станками и одной деталью, так как по этим данным нетрудно рас-

считать и все остальные.)

Любая точка заштрихованной области допустимых планов, как видно из ее названия, даст нам какой-либо один возможный план, отвечающий обоим принятым условиям — ограничениям.

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 187

Ðèñ. 6.4

Так, например, точка 0 соответствует нашему глазомерному плану: время работы над деталью А на станках ¹ 2 и 3 равно нулю.

В поисках наилучшего плана посмотрим, какой план распределения станков дает другие точки области. Вот, скажем, точка В. Как видно из графика, этой точке соответствует время работы над деталью А станка ¹ 2, равное 90 минутам, станка ¹ 3 — 360 минутам. По этим данным нетрудно составить второй план распределения станков, причем время, отводимое на производство детали Б станками ¹ 2 и 3, получится как дополнение до 360 минут времени, снятого с графика. При этом станки не должны простаивать. Что касается станка ¹ 1, то его время работы подбирается таким, чтобы общее количество деталей А и Б совпадало.

Второе решение, следовательно, будет выглядеть так (табл. 6.31).

Общее количество выпущенной продукции 2340 + 2340 = 4680 деталей

Вот так результат! Мы сразу же, можно сказать, бесплатно, на том же оборудовании увеличили производительность на 1080 деталей, т. е. на целых 30%.

188 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Нас, однако, продолжает мучить законный вопрос — добились ли мы уже самого лучшего, оптимального решения или нет? Стоит ли дальше пытаться улучшить план?

В теории математического программирования убедительно показывается, что оптимальному решению соответствует одна из вершин многоугольника допустимых планов, а именно та, для которой общая производительность окажется максимальной. В нашем случае это вершина С.

Действительно, рассчитывая известным уже нам путем план распределения станков для этой точки, получим следующее решение (табл. 6.32).

Общее количество выпущенной продукции 2610 + 2610 = 5220 деталей

Мы получили план, почти наполовину (на 45%) лучше, чем глазомерный. И этот существенный прирост, подобно предыдущему улучшению, ничего (если не считать умственных усилий на планирование) не стоит. Никакого дополнительного расхода ка- ких-либо ресурсов не потребовалось. Те же станки, те же детали, те же станочники работают то же время. Не меняется и производительность станков. Эффект здесь чисто интеллектуальный, «умственный» — за счет рационального распределения ресурсов оборудования. Умное, обоснованное решение сделало чудо, в которое даже трудно поверить. Подобный «чудесный» результат, как мы уже понимаем, характерен для всех решений, принимаемых с помощью научных методов.

Может возникнуть, правда, вопрос: а нельзя ли обойтись в подобных задачах без какого-либо специального математического аппарата, идя путем простого перебора всех возможных вариантов решения? Этот соблазн следует тут же отмести. Расчет показывает, что перебор всех возможных вариантов решений подобных задач нереален.

Уместно отметить еще несколько интересных моментов, связанных с решением данной задачи. Полученный нами оптималь-

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 189

ный план — это не просто правильный, допустимый план распределения оборудования, по которому можно работать,— такими были и оба предыдущих. Они обеспечивали как беспростойность оборудования, так и комплектность продукции. Оптимальный план, помимо того что он должен отвечать этим требованиям, должен быть еще обязательно самым эффективным. В данном случае это означает требование максимума деталей. Действительно, как уже отмечалось, оптимизация обязательно должна предусматривать обращение одного из показателей в максимум (или минимум). Но только одного показателя. Нельзя вести оптимизацию по нескольким показателям одновременно. Между тем мы часто слышим: «максимум продукции при минимуме издержек». А правильно будет: «максимум продукции при данном уровне издержек» или «минимум издержек при данном уровне продукции».

И еще один важный вывод, к которому подводит станковая задача: оптимизация возможна лишь по верхнему уровню управления, для всей производственной системы в целом. В данном слу- чае это означает, что мы получили оптимальный план лишь для всех трех станков вместе. А для каждого в отдельности? Тут oптимальности может и не быть. В нашей задаче оптимальный план явно не понравится станочнику, работающему на станке ¹ 3: при большей производительности — 5 деталей в минуту план предлагает ему работать всего 90 мин, а при меньшей — 3 детали в минуту — целых 270 минут. Но тут уж ничего не поделаешь: чтобы получить оптимальный, сбалансированный план предприятия, ко- му-то на нижнем уровне приходится работать в неоптимальном режиме. И значительно дешевле компенсировать издержки «внизу», чем лишиться огромного эффекта оптимизации работы целого предприятия.

Несколько слов о существе решения станковой задачи. Идея математического программирования заключается в том, чтобы вместо сплошного (иногда говорят — слепого или дурного) перебора всех возможных вариантов вести перебор выборочный, направленный на скорейшее последовательное улучшение результата. Поэтому в нашей задаче мы и рассматривали не все точки области допустимых планов (их бесчисленное множество), а только вершины многоугольника, одна из которых и дала нам наилучшее решение.

Методы математического программирования находят широкое применение для обоснования оптимальных решений в самых различных областях человеческой деятельности: при планировании перевозок и в торговле, для правильной организации труда, в управлении городским транспортом и строительством.

190 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Рассмотрим, как вырабатываются правила решения еще одной важной производственной задачи.

Резервы раскроя материалов

Изготовление многих видов современной промышленной продукции начинается с раскроя материала. Выкраивают не только одежду и обувь, но и детали корпуса корабля, кузова автомобиля, фюзеляжа самолета. Раскраивают ткани и кожу, бумагу и стекло, металл и пластмассу. Кроить можно по-разному...

Перед нами листы дефицитного материала размером 6 13 м (рис. 6.5). Из каждого такого листа необходимо выкроить по несколько заготовок двух видов: заготовки А — размером 5 4 м и заготовки Б — размером 2 3 м. Задача заключается в том, чтобы получить как можно больше заготовок обоих видов с наименьшим количеством отходов. Кроме того, как и в задаче со станками, необходимо обеспечить комплектность заготовок: на 1 заготовку А должно приходиться 5 заготовок Б.

Как вести раскрой? Какое решение принять?

Прежде всего нужно установить все возможные способы раскроя наших листов по требуемым заготовкам. Начнем с того, что

Ðèñ. 6.5

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 191

постараемся получить с одного листа как можно больше заготовок А — они крупнее, чем Б, и для них труднее подыскать место на листе. Оказывается однако, что более 3 заготовок А с листа выкроить невозможно. Исходя из этого, предусмотрим способы раскроя для получения 3, 2 и 1 заготовки А и наибольшего возможного количества заготовок Б с листа. Каждому способу дадим номер:

способ ¹ 1: 3 заготовки А и 1 заготовка Б; способ ¹ 2: 2 заготовки А и 6 заготовок Б; способ ¹ 3: 1 заготовка А и 9 заготовок Б.

Заметим, что при всех способах раскроя часть площади листа остается неиспользованной и идет в отходы. На рис. 6.5 эта площадь заштрихована.

Для составления оптимального плана раскроя материала построим график, подобный тому, который мы рисовали в задаче со станками. На рис. 6.6 по оси Õ отложено количество заготовок А, а по оси Y — число заготовок Б. При этом каждому способу раскроя соответствует своя точка на графике. Так, точка «способ ¹ 2» стоит на пересечении двух заготовок А и шести заготовок Б. Точки — способы раскроя — указывают границы области допустимых планов.

Ðèñ. 6.6

Для того чтобы обеспечить комплектность заготовок, необходимо ограничиваться лишь теми точками области допустимых планов, которые лежат на луче ОЛ. Он построен таким образом,

192 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

что все его точки соответствуют требуемому отношению заготовок А и Б:

Какой же план раскроя наиболее рационален?

Очевидно, тот, которому соответствует точка, наиболее отдаленная от начала координат, — ведь при этом число заготовок будет наибольшим. Этот план дает точка, лежащая на пересечении луча ОЛ с границей области допустимых планов — линией, соединяющей позиции способов ¹ 2 и 3. Она находится как раз посередине между упомянутыми способами. Итак, оптимальный план раскроя зaключается в том, что половина листов кроится спосо-

бом ¹ 2, а половина — способом ¹ 3.

Проверим теперь наш оптимальный план на партии в 200 листов. Половину — 100 листов раскроим по способу ¹ 2 и получим 100 2 = 200 заготовок А и 100 6 = 600 заготовок Б; вторую половину листов раскроим по способу ¹ 3. Получим: 100 1 = 100 заготовок А и 100 9 = 900 заготовок Б. Всего же получилось 300 заготовок А и 1500 заготовок Б — комплектность 1 к 5 соблюдена. А чем этот план лучше других? На этот вопрос ответят следующие

любопытные цифры.

Предположим, что тот, кто ведет раскрой, не знает современных методов обоснования решений и действует без расчета, «на глазок». Не исключено, что он станет раскраивать наши 200 листов способами ¹ 1 и 3. Для того чтобы иметь возможность сравнивать глазомерный план с оптимальным, примем, что способом ¹ 1 раскраивалось 50, а способом ¹ 3 — 150 листов. Вот что при

этом получается.

50 листов, раскроенных по способу ¹ 1, дают:

50 3 = 150 заготовок А и 50 1 = 50 заготовок Б; 150 листов, раскроенных по способу ¹ 3, дают:

150 1 = 150 заготовок А и 150 9 = 1350 заготовок Б. Всего получается 300 заготовок А и 1400 заготовок Б.

А куда же исчезли 100 заготовок Б? Ведь при оптимальном раскрое их было 1500. Их «съел» плохой план. Все они ушли в от-

ходы. Дефицитный материал остался неиспользованным.

Таким образом, рациональный раскрой даже в такой скромной задаче, как наша — разрезается всего 200 листов, — экономит

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 193

600 ì2 дефицитного материала: 100 заготовок Б 2 метра 3 метра = 600 м2.

Составление рационов и смесей

Правила диеты требуют перейти на рациональное питание, состоящее исключительно из двух новых продуктов: диетического творога и не менее диетического пирога. Правда, есть их нужно с умом: дневное питание этими продуктами должно давать не более 14 единиц жира, но и не менее 200 калорий. Таково условие диеты.

Известно, что в одном килограмме содержится:

—у диеттворога — 150 калорий и 14 единиц жира;

—у диетпирога — 200 калорий и 4 единицы жира.

Кстати, цена диеттворога — 1 руб. 50 коп., а диетпирога — 2 руб. 50 коп.

Теперь остается сообразить, в какой же пропорции брать оба удивительных продукта, чтобы выдержать условие диеты и вместе с тем чтобы изящество обошлось как можно дешевле.

Необходимо решение.

Обратимся к математическому планированию. Прежде всего переведем нашу задачу с обычного бытового языка на строгий язык математики.

Заметим себе также, что ни один из исков не может быть отрицательным — пища должна быть материальной, а не духовной. То есть:

Требование мудрой экономии запишем так:

По полученным соотношениям (6.84) — (6.86) построим на графике с координатными осями Õ1 è Õ2 область допустимых планов (рис. 6.7). Эта область представлена в данном случае треугольником АБВ со сторонами, соответствующими выражениям (6.84) — (6.86).

194 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Ðèñ. 6.7

Посмотрим, как находится, скажем, сторона АВ области допустимых планов. Эта сторона соответствует предельному допустимому условию, вытекающему из выражения (6.85):

I50X1 + 200X2 = 200

èëè

Õ2 = 1 — 0,75Õ1.

Придавая Õ1 различные произвольные значения и находя соответствующие значения Õ2, мы можем построить линию АВ. Аналогично строится и сторона БВ — она соответствует предельному значению выражения (6.84). Что касается стороны АБ, то она строится по граничному условию (6.86).

Теперь, какую бы точку внутри области допустимых планов мы ни взяли, условие диеты будет соблюдено: количество жира и калорий окажется в норме.

Возьмем, например, точку области допустимых планов, лежащую на оси Õ2 с ординатой X2 = 2. Ïðè ýòîì Õ1 = 0. Речь идет о том, чтобы питаться одним лишь диетпирогом, по 2 килограмма в день. Проверяем выполнение при этом условия диеты. С помощью формул (6.84) и (6.85) находим:

— по жирности

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 195

— по калорийности

150 0 + 200 2 = 400 калорий, т. е. более 200. Тоже годится.

Нетрудно рассчитать и сколько будет стоить дневной прием нашего чудо-продукта. Воспользуемся формулой (6.87):

1,5 0 + 2,5 2 = 5 ðóá.

Много это или мало? Нельзя ли, сохранив в неприкосновенности условие диеты, вместе с тем сократить расходы?

Посмотрим на графике линию, соответствующую полученной стоимости диеты:

I,5X1 + 2,5Õ2 = 5 ðóá.

Нетрудно сообразить, что если мы станем менять в этом выражении величину свободного члена, то линия стоимости станет перемещаться параллельно самой себе вверх или вниз. Например, взяв в качестве плана диеты верхнюю вершину области — точку Б (она имеет ординату Õ2 = 3,5), получим

1,5 0 + 2,5 3,5 = 8 ðóá. 75 êîï.

Диета явно вздорожала.

Но мы уже находим путь к цели: оптимальный план здесь, как и в любой задаче математического планирования, должен соответствовать крайней точке области, а именно той, которая одновременно принадлежит линии с наименьшей стоимостью. Такой точкой является вершина В. Ее координаты — столь нужные нам значения Õ1 è Õ2 оптимального плана — можно найти, совместно решая уравнения линий, образующих стороны АВ и БВ:

14Õ1 + 4Õ2 = 14;

150Õ1 + 200Õ2 = 200.

После несложных преобразований можно получить:

X1 1011 6 0,9 êã; X2 227 6 0,32 êã.

Это и есть дневная норма диеттворога и диетпирога. Какой же наименьшей стоимости диеты нам удалось добиться? Вот она, на графике, линия стоимости, проходящая через точку В:

196 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

По сравнению с самой расточительной диетой наш план позволил сократить расходы более чем в четыре раза! Согласитесь, это впечатляет. Тем более что задача, которую мы только что решили, необходима не только для сохранения фигуры. Составление наилучшего рациона откорма скота и кормления серебристой норки, определение состава сплавов и технических смесей делается очень похожим образом. Во всех этих случаях экономико-мате- матические методы резко повышают эффективность общественного производства.

Итак, для того чтобы найти наилучшее распределение ресурсов, необходимо произвести направленный перебор возможных вариантов, отсекая несколько раз одним махом сотни и тысячи ненужных, заведомо неподходящих. Неподходящих — значит не соответствующих условиям, в которых будет выполняться операция. А уж из оставшегося, резко ограниченного числа вариантов (они и называются допустимыми планами) нетрудно отыскать единственный — наилучший. Тот, который приводит к цели.

Идея математического планирования как раз и заключается в том, чтобы вместо сплошного перебора вести перебор выбороч- ный, направленный на скорейшее последовательное улучшение результата. Поэтому и в последней задаче мы рассматривали не все точки области допустимых планов (их бесчисленное множество), а только вершины многоугольника, одна из которых и дала нам наилучшее решение.

Рассмотрим, как вырабатываются правила решения еще одной важной предпринимательской задачи.

Управление очередями (теория расписаний)

Еще одной важной областью выработки решений производственных задач является составление всевозможных расписаний. С помощью расписаний определяется порядок действий персонала предприятий, устанавливается последовательность выполнения операций обработки материалов и сборки сложных изделий, назначается очередность при распределении различных материальных благ и т. д. Как же строятся наилучшие расписания?

Простейшее решение по составлению расписаний имеет так называемая задача директора. Сущность этой задачи заключается в следующем.

На прием к директору записалось несколько посетителей. Секретарь директора составил список в алфавитном порядке, указав для каждого требующуюся ему ориентировочную продолжительность приема. Фамилии записавшихся обозначены в списке их заглавными буквами (табл. 6.33).

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 197

Таблица 6.33

Суммарное время 120 мин = 2 ч 260 мин = 4 ч 20 мин

На весь прием директор, как видно из таблицы, отвел 2 ч = 120 мин, поэтому пришлось ограничиваться всего шестью посети-

телями. Является ли составленное расписание наилучшим?

С точки зрения общей продолжительности приема любая оче- редность посетителей равнозначна: суммарное время приема не меняется при любой его последовательности. А с точки зрения ожидания в очереди? Подсчитаем общее время ожидания как сумму времени ожидания всех посетителей. В нашем алфавитном списке оно составляет 260 мин = 4 ч 20 мин. Понятно, что это время желательно было бы уменьшить: ведь время ожидания — зря потраченное время. Но вот можно ли это сделать? Приведет ли расписание с другой последовательностью приема к экономии общего времени ожидания при сохранении намеченного суммар-

ного времени приема?

Оказывается, получение такого расписания возможно. В одном из методов исследования операций — так называемой теории расписаний — доказывается, что наименьшее суммарное время ожидания получается при составлении расписания в порядке нарастания продолжительности приема. Составим такое расписание

(òàáë. 6.34).

Полученное оптимальное расписание позволяет уменьшить суммарное время ожидания на 1 ч 10 мин. Это значительное сэко-

номленное время можно использовать более продуктивно. Задача директора находит применение не только в приемной

руководителя. Ведь таким же образом можно составить и расписание очередности работы станка или другого оборудования. Продолжительность обработки при этом бывает различной, и нужно составить расписание таким образом, чтобы суммарное время об-

198 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

работки оказалось наименьшим. Это, как мы видели, дает существенный временной, а значит и экономический, эффект.

Суммарное время 120 мин = 2 ч 190 мин = 3 ч 10 мин

Задачу директора иногда называют задачей одного станка. Ее дальнейшим развитием является задача двух станков. В чем ее суть?

Детали обрабатываются последовательно на двух станках. В табл. 6.35 показана продолжительность этой обработки для каждой из 10 деталей на двух станках. Нумерация деталей и последовательность их обработки взяты при этом произвольно.

Таблица 6.35

Расчет показывает, что суммарное время обработки всех деталей составляет 118 мин. Кроме того, существует время ожидания обработки первой поданной детали на станке ¹ 2, равное 7 мин, и время ожидания, пока освободится станок ¹ 2 для обработки детали ¹ 5, равное 11 мин. Итого, обработка всех деталей на двух станках с учетом времени ожидания продолжается 136 мин.

В теории расписаний доказывается, что в задаче двух станков для обеспечения оптимальной последовательности обработки с наименьшим временем ожидания необходимо составлять расписание, руководствуясь следующими правилами:

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 199

1)выбирается деталь с наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере это ¹ 9;

2)выбранная деталь помещается в начало очереди, если наи-

меньшая продолжительность обработки соответствует станку ¹ 1, или в конец очереди, если — станку ¹ 2; в нашем примере деталь ¹ 9 помещается в конец очереди;

З) столбец табл. 6.35, ранее занятый выбранной деталью, вы- черкивается;

4)выбирается деталь среди оставшихся со следующей наименьшей продолжительностью обработки на одном из станков; в нашем примере — деталь ¹ 7;

5)выбранная деталь помещается в начало или конец очереди по указанному в п. 2 правилу; в нашем примере деталь ¹ 7 помещается в начало очереди;

6)вычеркивается соответствующий столбец таблицы, и т. д. В итоге можно получить оптимальное расписание работы двух

станков (табл. 6.36).

Таблица 6.36

Полученное оптимальное расписание уменьшает время ожидания обработки до 2 мин (станок ¹ 2 ждет в самом начале, пока станок ¹ 1 обработает деталь ¹ 7). Общее время обработки с учетом времени ожидания тем самым сокращается до 120 мин — на 12%.

Заметим, что, не зная описанного простого правила, эту зада- чу не решить и опытному специалисту. Ведь чтобы выйти на оптимальное расписание, необходимо перебрать несколько миллионов вариантов очередности.

Данное решение, так же как и предыдущее, применяется не только для станков. Оно может быть использовано для составления расписаний очередности любых работ, последовательности процедуры применения, функционирования различных техниче- ских или организационных производственных систем.

200 Раздел II. Теоретические основы предпринимательской деятельности

Говоря о составлении наилучших расписаний, нельзя обойти еще один важный для практики тип задач. Речь пойдет о так называемой задаче о назначениях.

Задача о назначениях

На предприятии подготовлен резерв для замещения однородных должностей командиров производства (скажем, начальников производственных участков). Руководители предприятия, кадровая служба составили список резерва (в алфавитном порядке) и путем экспертного опроса установили, приближенно, конечно, степень соответствия каждого кандидата каждой из возможных вакансий. Например, установлено, что товарищ А для замещения должности IV подходит примерно в два раза лучше, чем для должности II, для замещения должности I товарищ Б в два раза хуже, чем В, и т. д. Придавая таким характеристикам численную форму, можно составить таблицу соответствия кандидатов различным должностям (табл. 6.37).

Как будет проходить подбор кандидатов на должности? Сделаем это сначала глазомерно.

Первый по алфавиту кандидат А лучше всего отвечает должности V. Закрепим за ним эту должность, поставив в правом верхнем углу соответствующей клетки звездочку.

Следующего кандидата — Б лучше всего было бы назначить на должность V, но она уже занята. Поэтому направим его на наиболее подходящую из оставшихся — должность I, и т. д.

Оценку полученного штатного расписания произведем так, как мы это делали в задачах математического программирования — суммируя оценки соответствующих назначений:

60 + 40 + 50 + 20 + 10 = 180.

Глава 6. Экономико-математические методы распределения ресурсов 201

Хорошее ли это расписание? Ответить на такой вопрос можно, лишь зная оптимальный вариант. Получить его путем сплошного перебора всех возможных расписаний, как мы уже знаем, практи- чески нельзя: при распределении всего 10 кандидатов по 10 должностям число возможных вариантов измеряется миллионами.

Существуют, к счастью, приемы направленного перебора вариантов, построенные на основе методов исследования операций. Применение этих приемов выводит на следующее оптимальное штатное расписание (табл. 6.38).

Оценка качества данного расписания:

40 + 80 + 70 + 60 = 330.

Оценка показывает, что оптимальное расписание почти в два раза лучше, чем глазомерное.

Еще один полезный метод выработки управленческих решений — сетевое планирование.

Управление временем (сетевое планирование)

Сетевое планирование служит для составления рационального плана решения производственной задачи, предусматривающего осуществление его в кратчайший срок и с минимальными затратами.

Методы сетевого планирования дают возможность оценивать «узкие» места выполняемой задачи и вносить необходимые коррективы в организацию решения.

Сетевое планирование рассмотрим на следующем примере. Производственная задача решается в три этапа (I, II и III). Исходным моментом является получение директором предприятия задания (заказа). Далее на основании этого задания под руководством заместителя директора по производству разрабатываются задания подразделениям ¹ 1 и 2. После этого подразделения одно-