1.2. Интерполяционные формулы для равноотстоящих узлов

Если значения функции заданы в точкахс постоянным положительным шагом, то часто используется интерполяционный многочлен Ньютона для интерполяции вперед

,(1.10)

где , а конечные разности, носящие названия нисходящих разностей, находят из соотношений

,

.

Интерполяционный многочлен (1.10) удобно использовать при работе в начале таблицы значений функции и для экстраполяции левее точки .

Интерполяционный многочлен с узлами где, имеет вид

(1.11)

и называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполяции назад. Его удобно использовать при интерполяции в конце таблицы и для экстраполяции правее точки . Входящие в выражение (1.11) значения конечных восходящих разностей находят из соотношений

,

...........................................................

.

Если при заданном в таблице значений функциис шагомимеется достаточное число узлов с каждой стороны от, то целесообразно узлы интерполяциивыбрать так, чтобы точкаоказалась как можно ближе к середине минимального отрезка, содержащего узлы. При этом обычно в качествеберется ближайший кузел, затем запринимается ближайший кузел, расположенный с противоположной отстороны, чем. Следующие узлы назначаются поочередно с разных сторон оти должны быть расположены как можно ближе к. Одной из возможных схем интерполяции в этом случае является схема Стирлинга с интерполяционным многочленом вида

В этом выражении учитывается, что дано нечетное число значений функции, где. Обычно эту формулу целесообразно использовать при.

x1 = 0.8110; x2=0.3770; x3=1.5480

i	X[i]	Y[i]
0	0.2680	-0. 1950
1	0.4290	-0. 0480
2	0.5910	0. 0110
3	0.7520	0. 0100
4	0.9130	-0. 0280
5	1.0740	-0. 0770
6	1.2360	-0. 1130
7	1.3970	-0. 1090
8	1.5580	-0. 0410
9	1.7190	0. 1140
10	1.8810	0. 3870

В результате работы программы были найдены значения функции L_n(X) в точках X1,X2,X3:

Номер метода	X
	X1=0.8110	X2=0.3770	X3=1.5480
1	-0.001109	-0.082118	-0.046795
2	-0.001125	-0.082093	-0.046782
3	-0.001103	-0.082157	-0.046726

Тексты программ:

Lab9.cpp

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <conio.h>

double Ln (double x, double *X, double *Y, int N);

double P (int first, int last, double *X, double x);

double div_sub (int first, int last, double *X, double* Y);

FILE *data;

void main()

{

clrscr();

int N,i;

double *X, *Y, x;

float tmp;

data=fopen("data.txt","r");

fscanf(data,"%d",&N);

X=new double [N+1];

Y=new double [N+1];

for (i=0; i<=N; i++)

{fscanf(data,"%f",&tmp);

X[i]=tmp;}

for (i=0; i<=N; i++)

{fscanf(data,"%f",&tmp);

Y[i]=tmp;}

printf("\nInput x: ");

scanf("%f",&tmp);

x=tmp;

printf("\nf(x)=%f",Ln(x,X,Y,N));

getch();

}

double Ln (double x, double *X, double *Y, int N)

{

double sum=0;

int i;

for (i=1; i<=N; i++)

sum+=P(0,i-1,X,x)*div_sub(0,i,X,Y);

sum+=Y[0];

return sum;

}

double P (int first, int last, double *X, double x)

{

double p=1;

int i;

for (i=first; i<=last; i++)

p*=(x-X[i]);

return p;

}

double div_sub (int first, int last, double *X, double* Y)

{

if (first != last) return (div_sub(first+1,last,X,Y)-div_sub(first,last-1,X,Y))/(X[last]-X[first]);

else return Y[first];

}

lab10.cpp

#include <math.h>

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <conio.h>

double Ln_Back (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N);

double P (int first, int last, int sign);

double nabla (int power, int index, double *Y);

double delta (int power, int index, double *Y);

long factorial (int x);

double Ln_Forward (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N);

double Ln_Stirl (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N);

FILE *data;

double q;

void main()

{

clrscr();

char keyhit;

int N,i;

double *X, *Y, *X0, *Y0, x;

float tmp;

data=fopen("data.txt","r");

fscanf(data,"%d",&N);

X=new double [N+1];

Y=new double [N+1];

X0=new double [N+1];

Y0=new double [N+1];

for (i=0; i<=N; i++)

{fscanf(data,"%f",&tmp);

X0[i]=tmp;}

for (i=0; i<=N; i++)

{fscanf(data,"%f",&tmp);

Y0[i]=tmp;}

printf("\nInput x: ");

scanf("%f",&tmp);

x=tmp;

sel:

printf("\n1-Forward interpolation\n2-Backward interpolation\n3-Stirlinf's method");

keyhit=getch();

switch (keyhit)

{

case 49: printf("\nf(x)=%f",Ln_Forward (x,X,Y,X0,Y0,N));break;

case 50: printf("\nf(x)=%f",Ln_Back (x,X,Y,X0,Y0,N));break;

case 51: printf("\nf(x)=%f",Ln_Stirl (x,X,Y,X0,Y0,N));break;

default: goto sel;

};

getch();

}

double Ln_Back (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N)

{

double sum=0;

int i;

for (i=0; i<=N; i++)

{X[i]=X0[N-i];

Y[i]=Y0[N-i];

}

q=(x-X[0])/fabs(X[1]-X[0]);

for (i=1; i<=N; i++)

sum+=P(0,i-1,1)*nabla(i,0,Y)/factorial(i);

sum+=Y[0];

return sum;

}

double P (int first, int last, int sign)

{

double p=1;

int i;

for (i=first; i<=last; i++)

p*=(q+sign*i);

return p;

}

double nabla (int power, int index, double *Y)

{return delta(power,index-power, Y);}

double delta (int power, int index, double *Y)

{if (power!=1) return delta(power-1, index+1, Y)-delta(power-1, index, Y);

else return Y[abs(index+1)]-Y[abs(index)];

}

long factorial (int x)

{long p=1;

int i;

for (i=1; i<=x; i++)

p*=i;

return p;

}

double Ln_Forward (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N)

{

double sum=0;

int i;

for (i=0; i<=N; i++)

{X[i]=X0[i];

Y[i]=Y0[i];

}

q=(x-X[0])/fabs(X[1]-X[0]);

for (i=1; i<=N; i++)

sum+=P(0,i-1,-1)*delta(i,0,Y)/factorial(i);

sum+=Y[0];

return sum;

}

double Ln_Stirl (double x, double *X, double *Y, double *X0, double *Y0, int N)

{return (Ln_Forward (x,X,Y,X0,Y0,N)+Ln_Back (x,X,Y,X0,Y0,N))/2;}