Лабораторная работа №3 / Laba3 / INSTRUC

ђЂЃЋ’Ђ 2: Њ…’Ћ„ Ќњћ’ЋЌЂ

—Ђ‘’њ I: ђ……Ќ€… Ћ„ЌЋѓЋ “ђЂ‚Ќ…Ќ€џ - Ћ‘ЌЋ‚ЌЋ‰ ‚Ђђ€ЂЌ’

1). ЏаЁўҐ¤ЁвҐ га ў­Ґ­ЁҐ Є ўЁ¤г f2(x)=0. ‚®©¤ЁвҐ ў । Єв®а Ё ᮧ-
¤ ©вҐ д ©« f2.m, § ¤ ойЁ© дг­ЄжЁо f2(x), Ё д ©« df2.m ¤«п f2'(x).
2). ‡ ¤ ©вҐ Ё­вҐаў «, ­  Є®в®а®¬ ЁйҐвбп Є®аҐ­м, Ё Ї®бвன⥠­  ­Ґ¬
Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ. Ќ ЇаЁ¬Ґа:
Ї a=-10; b=10;
Ї t=a:(b-a)/200:b; plot(t,f2(t)); grid
Џ®ўв®апҐвҐ нвЁ Є®¬ ­¤л б а §­л¬Ё a, b ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ­Ґ ­ ©¤ҐвҐ Ё­вҐа-
ў «, ᮤҐа¦ йЁ© Є®аҐ­м. Ќ ©¤ЁвҐ Ї® Ја дЁЄг ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ Є®а­п.
3). ‚ўҐ¤ЁвҐ нв® §­ зҐ­ЁҐ Є Є ЇҐаўл© н«Ґ¬Ґ­в бва®ЄЁ x:
Ї x=<ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ, ­ ©¤Ґ­­®Ґ Ї® Ја дЁЄг>
“бв ­®ўЁвҐ д®а¬ в ўлў®¤  б Ї« ў о饩 в®зЄ®©: бб Ї format long e
4). ‘®§¤ ©вҐ д ©« work21.m, ®ЇЁблў ойЁ© ®¤Ё­ и Ј ¬Ґв®¤  Ќмов®­ :
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
іk=max(size(x)) %k - ¤«Ё­  бва®ЄЁ x ЇҐаҐ¤ нвЁ¬ и Ј®¬і
іx(k+1)=x(k) - f2(x(k))/df2(x(k)) % x(k+1) - ®зҐаҐ¤­®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­ЁҐ і
іz(k+1)=f2(x(k+1)) % ‚ z - §­ зҐ­Ёп дг­ЄжЁЁ і
іerr(k+1)=abs( x(k+1)-x(k) ) % ‚ err - ®жҐ­Є  Ї®ЈаҐи­®бвЁ і
АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ
5). ЌҐбЄ®«мЄ® а § ўл§®ўЁвҐ нв®в д ©« (Ї work21), б«Ґ¤п §  ⥬, Є Є
Ё§¬Ґ­повбп §­ зҐ­ЁҐ дг­ЄжЁЁ z Ё Ї®ЈаҐи­®бвм err. Џ®ўв®ап©вҐ ¤® вҐе Ї®а,
Ї®Є  Ї®ЈаҐи­®бвм ­Ґ бв ­Ґв ¬Ґ­миҐ, ­ ЇаЁ¬Ґа, 1E-10. …б«Ё ®­  ­Ґ 㬥­ми -
Ґвбп, в® ®¤­® Ё§ ¤ўге: Ё«Ё ­Ґг¤ з­® § ¤ ­® ­ з «м­®Ґ ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­ЁҐ x(1),
Ё«Ё ў д ©«Ґ df2.m § ¤ ­  ­ҐўҐа­ п д®а¬г«  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© дг­ЄжЁЁ f2.
6). „«п ўлў®¤  १г«мв в®ў ў 㤮Ў­®© д®а¬Ґ ᮧ¤ ©вҐ ¬ ваЁжг:
Ї res1=[x; z; err]'
‡¤Ґбм в®зЄЁ б § Їпв®© ®§­ з ов, зв® ¬л ᮧ¤ Ґ¬ ¬ ваЁжг Ё§ 3 бва®Є; Є -
ўлзЄ  ў Є®­жҐ ЇаЁў®¤Ёв Є ва ­бЇ®­Ёа®ў ­Ёо. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, §­ зҐ­Ёп x Ўг-
¤гв ᮤҐа¦ вмбп ў 1-¬ бв®«ЎжҐ, z - ў® 2-¬ Ё err - ў 3-¬. Џ®бЄ®«мЄг нв®
­Ґ®зҐўЁ¤­®, ᮧ¤ ¤Ё¬ ᮮ⢥вбвўгойЁ© Є®¬¬Ґ­в аЁ©:
Ї ccc1=' Col 1: x; Col 2: f(x); Col 3: err '
Ё«Ё зв®-в® ў н⮬ தҐ. ќв® - Їа®б⮠⥪бв®ў п бва®Є  (ў¬Ґбв® ccc1 ¬®¦­®
ЁбЇ®«м§®ў вм «оЎ®Ґ Ё¬п; ­Ґ Ї®«м§г©вҐбм агббЄЁ¬Ё ЎгЄў ¬Ё !).
7). ‘®еа ­ЁвҐ Ї®«г祭­лҐ १г«мв вл, ­ ЇаЁ¬Ґа:
Ї save result21 a b ccc1 res1


—Ђ‘’њ II: ђ……Ќ€… Ћ„ЌЋѓЋ “ђЂ‚Ќ…Ќ€џ - ЊЋ„€”€–€ђЋ‚ЂЌЌ›‰ ‚Ђђ€ЂЌ’

1). “¤ «ЁвҐ ўбҐ н«Ґ¬Ґ­вл бва®Є x, z, err, Єа®¬Ґ ­ з «м­®Ј® ЇаЁЎ«Ё-
¦Ґ­Ёп ¤«п x: Ї z=[]; err=[]; x=x(1)
2). ‡ ¤ ©вҐ ¤®бв в®з­® ¬ «Ґ­мЄЁ© и Ј h Ё ўлзЁб«ЁвҐ б ҐЈ® Ї®¬®ймо
ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ Їа®Ё§ў®¤­®© ўЎ«Ё§Ё x(1):
Ї h=0.0001, dfh=( f2(x+h) - f2(x) ) / h
3). ‘®§¤ ©вҐ д ©« work22.m, ®ЇЁблў ойЁ© 1 и Ј ¬®¤ЁдЁжЁа®ў. ¬Ґв®¤ :
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
іk=max(size(x)) і
іx(k+1)=x(k) - f2(x(k))/dfh і
іz(k+1)=f2(x(k+1)) і
іerr(k+1)=abs( x(k+1)-x(k) ) і
АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ
Ћв«ЁзЁҐ ®в д ©«  work21.m - «Ёим ў® ўв®а®© бва®ЄҐ. Џа®йҐ ўбҐЈ® бЄ®ЇЁа®-
ў вм ЇаҐ¤л¤гйЁ© д ©« Є®¬ ­¤®© Ї !copy work21.m work22.m Ё § вҐ¬
®в। ЄвЁа®ў вм д ©« work22.m.
4). ‚л§лў ©вҐ д ©« work22, Ї®Є  Ї®ЈаҐи­®бвм ­Ґ бв ­Ґв ¤®бв в®з­®
¬ «®©, ­® ­Ґ Ў®«ҐҐ 10 а §. (Њ®¤ЁдЁжЁа®ў ­­л© ¬Ґв®¤ Ќмов®­  б室Ёвбп Ј®-
а §¤® ¬Ґ¤«Ґ­­ҐҐ ®б­®ў­®Ј®). …б«Ё б室Ё¬®бвЁ ­Ґв, в® ў®§¬®¦­  ҐйҐ ®¤­ 
ЇаЁзЁ­  - ­Ґг¤ з­® ўлЎа ­­л© и Ј h.
5). ‘®еа ­ЁвҐ १г«мв вл:
Ї res2=[x; z; err]'
Ї save result22 h dfh res2


—Ђ‘’њ III: ђ……Ќ€… ‘€‘’…Њ› €‡ 2-• “ђЂ‚Ќ…Ќ€‰

1. Ћ б ­ ® ў ­ ® © ў   а Ё   ­ в ¬ Ґ в ® ¤  
1). ЏаЁўҐ¤ЁвҐ бЁб⥬㠪 ўЁ¤г ff(x,y)=0; gg(x,y)=0. ‚®©¤ЁвҐ ў аҐ-
¤ Єв®а Ё ᮧ¤ ©вҐ ў ­Ґ¬, ᮮ⢥вб⢥­­®, д ©«л ff.m Ё gg.m.
2). Џа®¤ЁддҐаҐ­жЁаг©вҐ дг­ЄжЁЁ ff Ё gg Ё ᮧ¤ ©вҐ д ©« mj.m, § ¤ о-
йЁ© ¬ ваЁжг џЄ®ЎЁ (в.Ґ. ¬ ваЁжг Ё§ з бв­ле Їа®Ё§ў®¤­ле):
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
іfunction otv=mj(x,y) і
іotv=zeros(2,2); % Џ®Є  зв® ¬л «Ёим § ¤ «Ё а §¬Ґал нв®© ¬ ваЁжл і
іotv(1,1)= <д®а¬г«  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© ff Ї® x>; і
іotv(1,2)= <д®а¬г«  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© ff Ї® y>; і
іotv(2,1)= <д®а¬г«  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© gg Ї® x>; і
іotv(2,2)= <д®а¬г«  ¤«п Їа®Ё§ў®¤­®© gg Ї® y>; і
АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ


3). ‘®§¤ ©вҐ д ©« work2g.m, ўлў®¤пйЁ© ­  нЄа ­ «Ё­ЁЁ, ®вўҐз ойЁҐ
га ў­Ґ­Ёп¬ ff(x,y)=0 Ё gg(x,y)=0:
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
іxi=ax:(bx-ax)/30:bx; % ‡ ¤ Ґ¬ г§«л Ї® ®бЁ X і
іyi=ay:(by-ay)/30:by; % ‡ ¤ Ґ¬ г§«л Ї® ®бЁ Y і
і[xx,yy]=meshdom(xi,yi); % (­г¦­® ¤«п Ї®бв஥­Ёп Ја дЁЄ ) і
іcontour(ff(xx,yy), [0,0], xi,yi) % ђЁб㥬 «Ё­Ёо ff(x,y)=0 і
іgrid % Ќ ­®бЁ¬ Є®®а¤Ё­ в­го бҐвЄг і
іhold on %‡ ЇаҐй Ґ¬ бвЁа вм ЇаҐ¤л¤. Ја дЁЄі
іcontour(gg(xx,yy), [0,0], xi,yi) % ђЁб㥬 «Ё­Ёо gg(x,y)=0 і
іhold off; pause % ‚®ббв ­ ў«Ёў Ґ¬ ०Ё¬ бвЁа ­Ёп і
АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ
‡ ¬Ґз ­ЁҐ: ў ®ЇҐа в®а е contour  аЈг¬Ґ­в [0, 0] Ј®ў®аЁв ® ⮬, зв® аЁ-
бгҐnбп «Ё­Ёп Ё¬Ґ­­® ­г«Ґў®Ј® га®ў­п;  аЈг¬Ґ­вл xi, yi ­г¦­л ¤«п ўлў®¤ 
®жЁда®ўЄЁ ­  Є®®а¤Ё­ в­лҐ ®бЁ.
4). Џ®¤ ©вҐ Є®¬ ­¤л:
Ї ax=...; bx=...; ay=...; by=...; work2g
(в.Ґ.: § ¤ ©вҐ ­ з «м­лҐ §­ зҐ­Ёп ¤«п Ја ­Ёж ®Ў« бвЁ, ў Є®в®а®© Ўг¤Ґв
ЁбЄ вмбп аҐиҐ­ЁҐ бЁб⥬л, Ё ўлўҐ¤ЁвҐ ­  нЄа ­ ᮮ⢥вбвўгойЁ© Ја дЁЄ).
Џ®ўв®ап©вҐ нв® б а §­л¬Ё ax, bx, ay, by ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ­Ґ ®Ў­ аг¦ЁвҐ
в®зЄг ЇҐаҐбҐзҐ­Ёп ¤ўге «Ё­Ё© га®ў­п.
5). Ќ ©¤ЁвҐ Ї® Ја дЁЄг ЇаЁЎ«Ё§ЁвҐ«м­лҐ Є®®а¤Ё­ вл нв®© в®зЄЁ Ё § -
¤ ©вҐ Ёе ў Є зҐб⢥ ­ з «м­®Ј® ЇаЁЎ«Ё¦Ґ­Ёп (Ї x=...; y=...;). ЋзЁбвЁвҐ
бва®Єг err ( Ї err=[]; ).
7). ‘®§¤ ©вҐ д ©« work23.m, ॠ«Ё§гойЁ© ®¤Ё­ и Ј ¬Ґв®¤  Ќмов®­ :
ЪДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДї
іk=max(size(x)) і
іxk=x(k); yk=y(k); % - в®«мЄ® ¤«п б®Єа йҐ­Ёп § ЇЁбЁ і
іnewpoint = [xk;yk] - inv(mj(xk,yk)) * [ff(xk,yk); gg(xk,yk)] і
іx(k+1)=newpoint(1); y(k+1)=newpoint(2); і
іerr(k+1)=max( abs(x(k+1)-x(k)), abs(y(k+1)-y(k)) ) і
АДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДДЩ
ЋЎа вЁвҐ ў­Ё¬ ­ЁҐ ­  ваҐвмо бва®зЄг. ЂаЈг¬Ґ­вл дг­ЄжЁ© mj, ff Ё gg
а §¤Ґ«повбп, Є Є Ё Ї®«®¦Ґ­®, § Їпв®©. ‚ в® ¦Ґ ўаҐ¬п н«Ґ¬Ґ­вл ў Єў ¤а в-
­ле бЄ®ЎЄ е а §¤Ґ«Ґ­л в®зЄ®© б § Їпв®©, в.Є. нв® - бв®«Ўжл.
8). Џ®ўв®ап©вҐ ўл§®ў Ї work23 ¤® вҐе Ї®а, Ї®Є  ­Ґ ¤®ЎмҐвҐбм вॡгҐ-
¬®© в®з­®бвЁ. …б«Ё ўбҐ ᤥ« ­® ўҐа­®, в® бЄ®а®бвм б室Ё¬®бвЁ ¤®«¦­  Ўлвм
ᢥае«Ё­Ґ©­®© (в.Ґ. Ўлбв॥ ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®© Їа®ЈаҐббЁЁ).
9). ‘®еа ­ЁвҐ १г«мв вл:
Ї res3=[x; y; err]', save result23 res3


IV. ”ЋђЊ€ђЋ‚ЂЌ€… € ‚›‚Ћ„ ѓђЂ”€ЉЋ‚

„ « п з   б в Ґ © I Ё II

1). ђ §¤Ґ«ЁвҐ нЄа ­ ­  4 з бвЁ Є®¬ ­¤®© Ї subplot(221). ‘¬лб«
нвЁе жЁда: нЄа ­ ¤Ґ«Ёвбп ­  2 з бвЁ Ї® Ј®аЁ§®­в «Ё, ­  2 - Ї® ўҐавЁЄ «Ё,
Ё б«Ґ¤гойЁ© Ја дЁЄ Ўг¤Ґв ўлўҐ¤Ґ­ ў 1-Ґ Ё§ Ї®«гзЁўиЁебп зҐвлаҐе ®Є®­.
2). ‚뢥¤ЁвҐ Ја дЁЄ дг­ЄжЁЁ (®­ Ї®Ї ¤Ґв ў 1-о з бвм нЄа ­ ):
Ї t=a:(b-a)/200:b; plot(t,f2(t)); grid
3). ‚뢥¤ЁвҐ ­  Ја дЁЄ §­ зҐ­Ёп Ї®ЈаҐи­®б⥩ 2-Ј® ¬Ґв®¤ , Є®в®алҐ
Ўл«Ё а ­ҐҐ б®еа ­Ґ­л ў ваҐв쥬 бв®«ЎжҐ ¬ ваЁжл res2:
Ї plot(res2(:,3)+1e-30, 'o'); grid
Ї semilogy; title(' Errors 2 ')
‚ ®ЇҐа в®аҐ plot н«Ґ¬Ґ­в 'o' ®§­ з Ґв, зв® в®зЄЁ ­  Ја дЁЄҐ Ўг¤г⠮⬥-
з вмбп Єа㦮窠¬Ё Ё ­Ґ ᮥ¤Ё­пвмбп «Ё­Ёп¬Ё. Љ®¬ ­¤  semilog § ¤ Ґв «®Ј -
аЁд¬ЁзҐбЄЁ© ¬ бив Ў Ї® ўҐавЁЄ «Ё (в.Є. Ї®ЈаҐи­®бвЁ гЎлў ов нЄбЇ®­Ґ­жЁ-
 «м­®); ¤®Ў ў«Ґ­ЁҐ 1e-30 ­г¦­® ¤«п в®Ј®, зв®Ўл Ї®ЈаҐи­®бвЁ, а ў­лҐ 0, ­Ґ
ўл§лў «Ё ®иЁЎ®Є. Љ®¬ ­¤  title ўлў®¤Ёв ­  Ја дЁЄ Є®¬¬Ґ­в аЁ©.
4). ‚뢥¤ЁвҐ ­  Ја дЁЄ §­ зҐ­Ёп Ї®ЈаҐи­®б⥩ 1-Ј® ¬Ґв®¤ :
Ї plot(-log10(res1(:,3))+1e-30, 'o'); grid
Ї semilogy; title('-lg(Errors 1) ')
(„«п 1-Ј® ў аЁ ­в  ¬Ґв®¤  Ї®ЈаҐи­®бвЁ гЎлў ов Ј®а §¤® Ўлбв॥ ЈҐ®¬ҐваЁ-
зҐбЄ®© Їа®ЈаҐббЁЁ - Ї®нв®¬г ¬л ўлў®¤Ё¬ ­  Ја дЁЄ ­Ґ б ¬Ё Ї®ЈаҐи­®бвЁ,  
Ёе ¤ҐбпвЁз­лҐ «®Ј аЁд¬л).
5). ‚뢥¤ЁвҐ Ја дЁЄ ў д ©«, ­ ЇаЁ¬Ґа: Ї meta grafik21
6). Ћв¬Ґ­ЁвҐ а §ЎЁҐ­ЁҐ нЄа ­  ­  з бвЁ: Ї subplot(111)

„ « п з   б в Ё III

1). ђ §¤Ґ«ЁвҐ нЄа ­ ­  ¤ў  Ја дЁзҐбЄЁе ®Є­  ( Ї subplot(121) ) Ё
ўлўҐ¤ЁвҐ ў ЇҐаў®Ґ Ё§ ­Ёе «Ё­ЁЁ га®ў­п ( Ї work2g ).
2). ‚뢥¤ЁвҐ ў® ўв®а®Ґ ®Є­® Ја дЁЄ ¤«п Ї®ЈаҐи­®б⥩:
Ї plot(-log10(res3(:,3))+1e-30, 'o'); grid;
Ї semilogy; title('-lg(Errors)')
3). ‚뢥¤ЁвҐ Ја дЁЄ ў д ©«: Ї meta grafik23