Cанкт-Петербургский Государственный Электротехнический Университет
КАФЕДРА МОЭВМ
Отчет по курсовой работе
Преподаватель : Титов М. С.
Студент : Евдокимов С. Н.
Санкт-Петербург
Задание на курсовую работу :
Используя программы - функции BISECT , NEWTON , HORDA , ITER, Round из файла metods.cpp найти корень уравнения f(x)=0 с заданной точностью методом бисекции , Ньютона , хорд и итераций соответственно .
Исследуйте обусловленность методов и зависимость числа итераций от точности результата Eps при изменении Eps от 0.1 до 0.000001 .
Порядок выполнения работы :
-
Графически или аналитически отделить корень уравнения f(x)=0 (т.е. найти отрезки [Left, Right], на которых функция f(x) удовлетворяет условиям применимости методов).
-
Составить подпрограмму- функцию вычисления функции f(x) и ее производной f’(x) (при необходимости), предусмотрев округление их значений с заданной точностью Delta с использованием библиотечной функции Round.
-
Составить головную программу, содержащую ввод исходных данных, обращение к подпрограммам BISECT, NEWTON, HORDA, ITER вывод результатов.
-
Выполнить вычисления по программе. Построить графики зависимости числа итераций, необходимых для достижения заданной точности Eps, от величины Eps, а также достижимой точности результатов от точности Delta задания функции f(x) .
-
Теоретически и экспериментально сравнить методы бисекции, Ньютона, хорд и итераций по скорости сходимости и степени обусловленности.
-
Результаты оформить в виде отчета, содержащего постановку задачи, тексты разработанных программ, результаты теоретического и экспериментального анализа в виде таблиц и графиков, выводы.
Теоретическое введение :
В данной работе исследуются четыре метода нахождения корня нелинейного уравнения.
-
Метод Бисекции основан на половинном делении отрезка, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Это самый медленный метод из данных, однако он самый точный.
-
Метод Ньютона геометрически эквивалентен замене небольшой дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой. Это один из самых быстрых методов т.к. обладает квадратичной скоростью сходимости. По точности уступает методу Бисекции.
-
Метод Хорд основан на пропорциональном делении отрезка.Это почти самый быстрый метод, однако по точности он уступает методу Бисекции.
-
Метод Простых Итераций основан на замене данной функции другой функцией. Это один из быстрых методов, причем чем ближе к единице взят параметр q, тем бистрее получается результат.
F(x)=x2-5sin(x)
Содержание работы :
-
Локализуем корни уравнения. В данном уравнении два кореня,возьмем больший. Выбераем отрезок, на котором функция, первая () и вторая () производные монотонны ( см. графики ) , это необходимые условия методов нахождения корня. В данном случае выберем отрезок [1.2;3.2] при корне уравнения » 2.08.
-
Для метода простых итераций вводим новую функцию j(x)=x-a*f(x) Проверяем выполнимость условия монотонности (cм. график) . По графику видно, что f’(x)>0 на исследуемом отрезке, следовательно .
f’(x): 0<m=f1’(1.2)£f’(x)£f2’(3.2)=M ; m=0.58821, M=11.3914, q»0.948363, a=0.091325. Выбираем начальное приближение равное левой границе (1.2).
-
Для метода Ньютона выбираем начальное приближение, отвечающее условию f(x0)*f”( x0)>0, по графикам видно, что правая граница удовлетворяет этому условию, поэтому в качестве начального приближения берем правую границу, равную 3.2 .
-
Исследуем данные методы по скорости сходимости , изменяя Eps от 0.1 до 0.000001 при Delta =0. Данные и результаты приведены в таблице и отображены на графиках.
-
Исследуем данные методы по степени обусловленности , изменяя Delta от 0.1 до 0.000001 при значениях Eps=0.000001 и Eps=0.01. Данные и результаты приведены в таблице и отображены на графиках.
-
Вычисляем обусловленности f(x) == 0,151579 è j(x)==1.65972