2) Интеграл вида , , .

3) Интеграл вида , .

Обозначим F(x) произвольную первообразную функции , получим

Выразим

.

Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией, или рациональной дробью, называется выражение вида , где и − многочлены степени n и m соответственно. Если n m, дробь называется неправильной, а если n m, то правильной. Неправильную рациональную дробь можно записать в виде суммы многочлена и правильной дроби. Для этого используется следующая процедура деления с остатком многочлена на многочлен (алгоритм Евклида).

Пусть , при этом , n m. Умножим на и вычтем получившееся выражение из . В результате получим некоторый многочлен , степень которого строго меньше , и при этом . Если степень все еще больше , применим описанный прием уже к многочлену , и так до тех пор, пока не получим «в остатке» многочлен степени строго меньше . Эта процедура деления разобрана далее на нескольких примерах (деление «уголком»).

Правильная рациональная дробь называется простой, если она принадлежит к одному из нижеперечисленных типов

Примеры простых дробей:

Любая правильная рациональная дробь может быть представлена как сумма простых дробей с подходящими коэффициентами. Такое разложение находят методом неопределенных коэффициентов, который мы проиллюстрируем на одном конкретном примере. Рассмотрим функцию:

. (1)

Составим комбинацию простых дробей, в знаменателях которых присутствуют все возможные делители знаменателя исходной функции:

После приведения этих пяти дробей к общему знаменателю получим:

(2)

Приравняв числители (1) и (2), получим уравнение

(3)

Соотношение (3) должно быть выполнено при всех значениях х. Подставим в (3) пять (по числу неизвестных коэффициентов A, B, C, D, E) различных значений х и получим систему уравнений на A, B, C, D, E:

Можно показать, что у такой системы всегда существует единственное решение. Решив эту систему (например, методом Гаусса), получим требуемое представление

Интегрирование любой простой дроби всегда сводится к интегрированию табличных функций. Приведем несколько наиболее типичных примеров:

1)

2)

3) .

Кратный неразложимый квадратный многочлен в знаменателе дроби.

1 способ. Интегрирование по частям.

2 способ. Замена переменной.

=

Интегрирование иррациональных функций

Большинство иррациональных функций не интегрируется в элементарных функциях. Есть лишь некоторые классы иррациональных функций, интегрирование которых с помощью той или иной замены переменной может быть сведено к интегрированию рациональных функций.

1) Интегралы вида где − рациональная функция, а − натуральные числа. Метод интегрирования – замена x= , где N – наименьшее общее кратное чисел .

Пример:

2) Интегралы Метод интегрирования – замена = .

Пример:

=

3) Интегралы вида где m, n и p – рациональные числа (дифференциальный бином). Интегралы такого вида сводятся к элементарным функциям только при следующих соотношениях параметров m, n и p.

Обозначим N наименьшее общее кратное знаменателей дробей m и n. Тогда имеется три случая интегрируемости для дифференциального бинома.

А) p – целое число. Метод интегрирования – замена

Б) – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.

В) + p – целое число. Метод интегрирования – замена , где s – знаменатель дроби p.

Проиллюстрируем случаи Б) и В) на примерах.

i) .

Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .

ii)

Для данного интеграла , , . Поскольку , избавиться от иррациональности можно, взяв за новую переменную интегрирования радикал .

.