Если имеет место свободная конвекция, то

.

Если газы движутся с большой скоростью, то

.

Уравнение подобия удобно представлять в виде степенной зависимости .

Степенные зависимости удобны тем, что в логарифмическом представлении они изображается прямой линией.

В состав чисел подобия входят физические параметры, которые зависят от температуры, а также линейные размеры и скорость.

Температура, размер и скорость, по которым рассчитываются числа подобия, называются определяющими параметрами.

В качестве определяющей температуры используют главным образом среднюю температуру жидкости t_ж, реже - среднюю температуру пограничного слоя t_m, и еще реже - среднюю температуру стенки t_ст. Средняя температура пограничного слоя определяется как

t_m=0,5(t_ж+t_ст).

В зависимости от того, какя температура принята в качестве определяющей, обозначение чисел подобия сопровождается соответствующим индексом – Re_ж, Re_m ,Re_ст. Иногда выбор определяющей температуры оговаривается в примечании к уравнению, тогда числа подобия записываются без индексов.

Выбор определяющего размера также оговаривается в примечании к уравнению. Определяющими размерами могут быть диаметр (для труб, сфер), высота участка (для вертикальных труб и плит), наименьший размер (для горизонтальных плит), толщина слоя жидкости. Для труб и каналов некруглого сечения в качестве определяющего размера используется эквивалентный диаметр d_экв

,

где f – площадь сечения канала, П - смоченный периметр.

В качестве определяющей скорости принимают скорость в самом узком сечении канала.

3.5 Теплообмен при естественной конвекции

Аналитическое решение задачи теплообмена

при свободном ламинарном движении вдоль

вертикальной пластины

Пусть вертикальная пластина с неизменной температурой t_с помещена в жидкость или газ. Жидкость вдали от пластины неподвижна и имеет температуру t_ж. Рассмотрим случай, когда . В этом случае у пластины появляется движение нагретого слоя жидкости. По оси z перемещения нет. Только по оси х.

Процесс стационарный; силы инерции пренебрежимо малы; градиент давлений отсутствует; конвективный перенос теплоты и так же теплопроводность вдоль движущегося слоя можно не учитывать; теплофизические свойства жидкости, кроме ее плотности, считаем независимыми от температуры; примем линейный закон изменения плотности от температуры

;

распределение температуры по толщине пограничного слоя имеет параболический характер

;

;

(1)

Если: ;

Коэффициент теплоотдачи от стенки к жидкости:

; ; ; ; .

Градиент температуры определим из (1): ; (3)

Подставляя (3) в (2) имеем:

(4)

Толщина движущегося слоя  в (4) переменна по высоте и связана со скоростью движения в этом слое. Поле скоростей в этом слое может быть определено решением дифференциального уравнения движения (Навье-Стокса):

.

При принятых условиях течение происходит в направлении оси ох, поэтому истинное уравнение движения только в проекциях на ось ох:

.

Поскольку уравнение движения получено без учета зависимости плотности от температуры, в то время как при свободном движении жидкости потенциал движения определяется плотностью жидкости, введем в уравнение движения разность плотностей (₀-холодная, -текущая ):

. то

Подставим в выражение (5) выражение из (1):

Подставим в (6) из :

;

; ; ; ;

; ; ; .

; .

По уравнению (8) можно построить распределение скорости в движущемся слое жидкости, а по уравнению (1) распределение температур в пограничном слое.

Средне интегральная скорость пограничного слоя определяется:

; ; (9)

Средняя температура пограничного слоя

; .

Расход жидкости через поперечное сечение равен

или .

Расход жидкости определяет плотность . При этом полагается, что жидкость плотностью , вовлекаясь в движущийся слой приобретает скорость .

Подставим значение из (9) получим

(10)

С другой стороны, в пограничный слой вовлекается жидкость с температурой . Эта жидкость нагревается до температур, лежащих в интервале от до . Можно считать, что эта жидкость нагревается до температуры . На это расходуется теплота, которая может быть определена из уравнения баланса и теплопередачи:

.

Поскольку , то получаем

.

Так как ,

то (11)

Приравнивая (11) и (10) получаем:

.

Интегрируя последнее выражение, имеем:

. (12)

При .

Из уравнения (12) определим значение :

.

Из (4) .

Подставим в последнее уравнение и разрешаем относительно :

. .

; ; .

Полученное уравнение подобия теплоотдачи служит для определения текущего значения параметра.

Определим среднее значение  на пластине длиной L и среднее значение Nu в этом случае:

.

при .

Полученное аналитическое решение справедливо при принятых условиях по высоте пластины. В реальных процессах наблюдается постоянство теплового потока между пограничным слоем и стенкой пластины. Если привести полученное решение к режиму q=const, то уравнение подобия уравнение подобия теплоотдачи (аналитическое) имеет вид:

.

Экспериментальное уравнение имеет вид:

.

Полученное аналитическое и экспериментальное уравнение имеет высокую степень сходимости.