2.7. Анализ систем управления.

Анализ систем управления состоит в изучении их общесистемных свойств, условий выполнения ими своих функций и достижения заданных целей.

Основными требованиями к свойствам поведения систем управления явля-

ются: устойчивость поведения (движения), инвариантность управляемой пе-

ременной к возмущениям и ковариантность к задающим воздействиям; гру-

бость (параметрическая инвариантность, робастность), т.е. ограниченная чув-

ствительность свойств системы к вариациям характеристик элементов.

Основными задачами анализа систем управления являются: определение фактов устойчивости, инвариантности и робастности; построение характери-

стик и вычисление показателей качества; вывод об удовлетворительном (или

неудовлетворительном) поведении системы.

Анализ устойчивости.

Устойчивость по начальным условиям (по Ляпунову) – свойство собственно

системы. Если система устойчива, то затухают все составляющие свободных

движений, вызванных любыми ненулевыми начальными условиями. Свойст-

во устойчивости линейных непрерывных систем анализируется по модели

свойств свободных движений автономных систем (см. рис.2.5) в форме одно-

родных дифференциальных уравнений n-го порядка

А(р)у(t)  а_nу⁽ⁿ⁾ + …. + a₁у’ + а_оу = 0 (2 – 21)

Свободные движения.

Преобразуя дифференциальное уравнение (2-21) по Лапласу с учетом нача-

льных условий: у(0), у’(0),…., у^{(n -1)}(0) получим

А(s)У(s) = A_н(s), (2 – 22)

где A_н(s) – полином, коэффициенты которого зависят от начальных условий.

Из алгебраического уравнения (2-22) легко получить изображение решения

уравнения (2-21) У_св(s) = A_н(s)/A(s).

В случае, когда характеристический полином системы А(s) имеет только

простые корни s_i ; i=1,…., n, выражение для свободных движений имеет вид

у_св(t) = A_н(s_i)/A’(s_i) e ^Sit = C_ie ^Sit (2 – 23)

Здесь знак (‘) означает дифференцирование полинома по S. Если корни по-

линома А(s) кратные, то вместо коэффициентов С_i в выражении (2-23) поя-

вятся полиномы от t со степенями ниже кратности корня s_i.

Условия устойчивости.

Из выражения (2-23), что необходимым и достаточным условием затуха-

ния экспонент является отрицательность действительных корней

V_i = 1,….., n; Re s_i  0 (2 – 24)

На рис.2.20. приведен пример расположения корней характеристического полинома асимптотически устойчивой системы пятого порядка на комплекс-

ной плоскости. Все корни находятся в открытой левой полуплоскости, т.е.

строго левее мнимой оси. Поэтому часто фиксируют, что для асимптотичес-

кой устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни харак-

теристического полинома были левыми.

Следует отметить, что если характеристический полином имеет простые ко-рни на мнимом оси, то имеет место устойчивость по Ляпунову (но не асимп-

тотическая).

Устойчивость вход-выход.