Дифференциальные уравнения 1-ого порядка

ДУ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

-

Разделим обе части уравнения на и проинтегрируем:

Заменим и, разделив переменные, проинтегрируем:

.

УРАВНЕНИЕ КЛЕРО:

Введем замену . Исходное уравнение примет вид:

, которое продифференцируем по переменной x:

.

Решаем полученное ДУ относительно .

Если , то общее решение ДУ: .

Если , то получаем частное решение .

ДУ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ: ,

Функцию можно восстановить из условий :

3. ;

4. .

Тогда .

Т. о. решением исходного ДУ есть выражение .

ДУ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ДУ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ:

Находим интегрирующий множитель , так что:

− уравнение в полных дифференциалах.

• Если −

− не зависит от x,

то .

• Если −

− не зависит от y,

то .

ОДНОРОДНЫЕ ДУ

,

если функции , являются однородными одной и той же степени.

Введем замену , тогда и или .

При подстановке в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, которое решим интегрированием относительно функции .

Возвращаясь к замене, получим решение исходного ДУ.

ДУ, ПРИВОДЯЩИЕСЯ К ОДНОРОДНЫМ:

Составим систему линейных уравнений:

Если , то система имеет единственное решение .

Введем замену

Исходное уравнение сведется к однородному ДУ.

Если , то

Введем замену , и получим ДУ 1-ого порядка с разделяющимися переменными.

_{− ЛНДУ 1−ого порядка}

_{−Уравнение Бернулли}

Если

1. Решим соответствующее ЛОДУ

−

− ДУ с разделяющимися переменными:

1. Для соответствующего ЛОДУ

составим характеристическое

уравнение: .

Решение записывают в виде

2. Частное решение исходного ДУ будем искать методом вариации константы общего решения ЛОДУ, где сonst С заменим на функцию :

Подставим в исходное уравнение и получим ДУ с разделяющимися переменными.

Проинтегрировав, получим и, соответственно, (пренебрегая константой интегрирования).

3. Общее решение исходного ДУ составим по формуле: