16.2 Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение. Линейным неоднородным уравнением с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:
|
(1) |
,
где
действительные
числа.
Например, уравнение II порядка будет выглядеть так:
|
(2) |
.Наша задача найти общее решение линейного неоднородного уравнения (1).
Запишем однородное уравнение, соответствующее (1):
|
(3) |
.Обозначим общее решение уравнения (3), а через какое-нибудь частное решение уравнения (1), тогда по теореме о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения (п.14) решение уравнения (1) имеет вид:
.
Как находить
мы знаем, следовательно, остается найти
частное решение неоднородного уравнения.
Иногда удается найти частное решение
линейного неоднородного уравнения по
виду правой части, т.е. по виду
.
Рассмотрим линейное неоднородное уравнение II порядка с постоянными коэффициентами:
. |
(2) |
Случай I. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид
,
где
многочлен
степени п.
Запишем однородное уравнение:
|
(4) |
.Характеристическое уравнение
|
(5) |
имеет два корня.
Справедливы следующие утверждения.
Если число а не является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2) следует искать в виде:
,
где 
многочлен
с неизвестными коэффициентами той же
степени, что и
.
Если а – корень характеристического уравнения (5) (простой), то
.
Если а – кратный корень уравнения (5), то
.
Предположим, что
нам удалось установить вид частного
решения уравнения (2). Оно содержит
многочлен
с неизвестными коэффициентами, которые
находятся методом уравнивания
коэффициентов в левой и правой частях
уравнения. Для этого находим производные
и подставляем их вместе с самой функцией
в уравнение (2), получим тождество.
Сокращая его на
,
получим равенство двух многочленов: с
одной стороны многочлен с неизвестными
коэффициентами
,
а с другой
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях, получим систему линейных
уравнений, из которой найдем
.
Пример 1.
.
Решение. .
1) Найдем
: 
.
корни
комплексные, следовательно:
.
2) будем искать в виде:
.
Все подставим в самое первое уравнение:
;
.
Уравнивая коэффициенты, найдем А, В и С:
.
.
Ответ: .
Случай II. Пусть правая часть уравнения (2) имеет вид:
,
где
многочлены.
Запишем однородное:
|
(4) |
и характеристическое уравнения:
. |
(5) |
Имеют место следующие утверждения.
Если число
не корень (5), то
следует искать в виде:
где 
и
многочлены
с неизвестными коэффициентами, степень
каждого из которых равна наибольшей
степени многочленов
и
.
Если число является корнем характеристического уравнения (5), то частное решение уравнения (2):
где и многочлены с неизвестными коэффициентами, степень каждого из которых равна наибольшей степени многочленов и .
Коэффициенты в неизвестных многочленах и находятся методом неопределенных коэффициентов аналогично случаю 1.
Замечание. Если правая часть уравнения (2) содержит только синус или косинус, то все равно частное решение надо искать в вышеуказанном виде.
Пример 2.
.
Решение.
.
Правая часть содержит косинус:
.
Число
не является корнем характеристического
уравнения, следовательно:
.
Надо найти
:
.
Подставим в уравнение:
;
.
.
.
Ответ: .