Случай 2. Пусть корни характеристического уравнения действительные и равные .
Теорема 2. Если корни характеристического уравнения (4) действительные и равные k, то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть
корни характеристического уравнения
равны между собой и равны k,
тогда мы знаем, что функция
одно
из решений уравнения (3) (частное).
Так как уравнение второго порядка, то
должно быть еще одно решение. Другое
частное решение будем искать в виде:
|
(*) |
,
где
неизвестная
функция,
и
должны
быть линейно независимыми.
Найдем производные :
|
(**) |
|
(***) |
Подставляя равенства (*), (**), (***) в уравнение (3), получим тождество:
.
Сгруппируем
слагаемые с
и сократим на
:
.
Так как
есть
корень характеристического уравнения
(4), то последняя скобка равна нулю, кроме
того, по теореме Виета:
.
Остается
.
Интегрируя это уравнение 2 раза, получаем:
Так как мы ищем
второе частное решение уравнения (3), то
достаточно в последнем равенстве
положить
.
Тогда
и
.
Нетрудно проверить,
что
является функцией, следовательно,
и
образуют фундаментальную систему
решений. Тогда по теореме о структуре
общего решения линейного однородного
уравнения утверждаем, что:
.
Теорема доказана.
Пример 2.
Решение. 
.
.
Ответ: .
Случай 3.
Пусть корни характеристического
уравнения (4) комплексные: 
.
Сначала докажем лемму.
Лемма. Если
функция
является решением уравнения (3), то ее
действительная и мнимая части
и
также является решениями этого уравнения.
Доказательство. Пусть
решение
уравнения (3). Найдем производные и
подставим их в (3):
.
Сгруппируем все с функцией u и v:
.
Комплексное выражение обращается в 0 тогда и только тогда, когда его действительные и мнимые части равны нулю, т.е.
.
Это говорит о том,
что
и
решения
уравнения (3).
Лемма доказана.
Теорема 3. Если корни характеристического уравнения комплексные , то общее решение уравнения (3) имеет вид:
.
Доказательство. Пусть
корни
характеристического уравнения (4). Им
соответствуют частные решения уравнения
(3):
;
.
По формулам Эйлера имеем:
Тогда:
Раскрывая скобки, получим:
Эти функции являются решением (3), но тогда по лемме их действительные и мнимые части также являются решениями уравнения (3).
Таким образом, мы можем взять два частных решения уравнения (3):
Эти решения линейно
независимы, т.к.
.
Значит, они образуют фундаментальную
систему решений уравнения (3). По теореме
о структуре общего решения линейного
однородного уравнения II
порядка имеем:
,
или
.
Теорема доказана.
Замечание. Если
корни характеристического уравнения
чисто мнимые
,
то полагаем
и решение имеет вид:
.
Пример 3.
Решение. 
.
Ответ: .
Обобщим все сказанное выше об уравнении II порядка на линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами. Запишем уравнение:
|
(1) |
.Его общее решение находится так: записываем характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (1), и находим его корни.
. |
(2) |
где
корни.
Частные решения уравнения (1) находим, руководствуясь правилами:
а) если простой действительный корень уравнения (2), то ему соответствует одно частное решение уравнения (1) вида:
.
б) если действительный корень характеристического уравнения (2) кратности s, то этому корню соответствуют s линейных независимых частных решений уравнения (1) вида:
.
в) если
простой
комплексный корень уравнения (2), то
сопряженное число
также простой комплексный корень
уравнения (2). Этой паре комплексных
чисел соответствуют два линейных
независимых частных решения:
.
г) если
корень
уравнения (2) кратности т,
то
корень
уравнения (2) кратности т.
Этой паре комплексно сопряженных корней
соответствует 2т
линейно независимых частных решений
уравнения (1):
Следуя пунктам а) – г), мы найдем п линейно независимых решений уравнения (1), а, сложив их, получим общее решение:
.
Пример 4.
Решение. 
.
.
Ответ: