14. Теорема о структуре общего решения линейного неоднородного уравнения
Запишем линейное неоднородное уравнение:
|
(1) |
Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):
|
(2) |
.
Теорема (без
доказательства). Пусть
общее
решение линейного однородного уравнения
(2), а
частное
решение неоднородного уравнения (1).
Общее решение линейного неоднородного
уравнения (1)
есть сумма общего решения однородного
уравнения, соответствующего данному
неоднородному уравнению, и какого-нибудь
частного решения данного неоднородного
уравнения, т.е.
Пример. 
.
Решение. 1)
Составляем однородное уравнение
.
Его общее решение найдено раньше:
.
2) Нетрудно проверить,
что
является частным решением неоднородного
уравнения.
Следовательно,
.
15. Нахождение решения линейного неоднородного уравнения методом вариации произвольных постоянных
Этот метод рассмотрим на примере уравнения II порядка:
|
(1) |
.Запишем однородное уравнение, соответствующее уравнению (1):
|
(5) |
.
Пусть
и
фундаментальная
система решений уравнения (2), тогда его
общее решение
.
Решение уравнения
(1) будем искать так: в
варьируем произвольные постоянные,
т.е. будем считать их функциями от х,
т.е.
.
И потребуем, чтобы
функция
удовлетворяла уравнению (1).
Вычислим производную:
.
.
Потребуем, чтобы выполнилось равенство:
|
(А) |
.
Тогда
,
следовательно,
.
Подставляя
в уравнение (1), получим тождество:
.
Сгруппируем
слагаемые с
и
:
Обе скобки равны нулю, так как и решения уравнения (2).
Значит, остается:
|
(В) |
.
Таким образом,
чтобы функция
была
решением уравнения (1) достаточно, чтобы
выполнялись равенства (А)
и (В),
т.е. приходим к системе:
|
(С) |
Функции
и
неизвестные
в этой системе. Определитель этой системы
– есть вронскиан решений
и
в силу фундаментальности решений
,
значит, система имеет единственное
решение:
.
Интегрируя, находим:
.
Подставляя найденные функции в общий вид решения, получаем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.
Пример. Решить
уравнение: 
.
Решение. Как
известно,
фундаментальная
система решений однородного уравнения
,
следовательно:
;
.
Составим систему (С):
.
Находим
;
.
Ответ: 
.
Замечание. Для линейного неоднородного уравнения более высокого порядка метод вариации произвольной постоянной применяется аналогично (система будет больше).
16. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
16.1 Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Определение. Линейным однородным уравнением п -го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение:
|
(1) |
,
где
действительные
числа.
Будем искать
решение (1) в виде
.
Найдем производные: 
Подставляя у и его производные в уравнение (1), получим тождество:
.
Сократив все
уравнение на
,
приходим к уравнению:
|
(2) |
.
Определение. Уравнение
(2) называется характеристическим
уравнением
уравнения (1). Характеристическое
уравнение – это алгебраическое уравнение,
имеющее п
корней. Корни
могут быть действительными или
комплексными или часть действительными
и часть комплексными.
Таким образом, если функция - решение уравнения (1), то число k – решение (корень) уравнения (2) и наоборот.
Пусть дано линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами:
.
При замене:
Приходим к характеристическому уравнению:
. |
(2) |
В зависимости от корней характеристического уравнения (2) будет меняться вид общего решения уравнения (1). Вопрос о структуре общего решения уравнения (1) рассмотрим на примере линейного однородного уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:
|
(3) |
,
где
действительные
числа.
Его характеристическое уравнение имеет вид:
|
(4) |
.
Могут представиться 3 случая.
Случай 1. Пусть
корни характеристического уравнения
(4) действительные и различные, т.е.
.
Теорема 1. Если корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение уравнения (3) имеет вид:
где
и
постоянные.
Доказательство. Пусть
корни
уравнения (4),
.
Так как уравнение (3) частный случай
уравнения (1), то согласно сказанному
выше:
являются частными решениями уравнения
(3).
Найдем
,
так как
,
то
есть
функция, значит
и
линейно независимые функции и образуют
фундаментальную систему решений
уравнения (3).
По теореме о структуре общего решения линейного уравнения (п.13) утверждаем, что общее решение (3) имеет вид:
.
Теорема доказана.
Пример 1.
.
Решение.
.
Ответ: 
.