11. Определитель Вронского и его свойства

Пусть дана система функций , определенных в интервале и имеющих в нем все производные до порядка включительно.

Запишем определитель:

.

Определение. Этот определитель называется определителем Вронского данной системы функций (вронскиан).

Очевидно, что вронскиан – это функция от х, т.е. .

Пример. Дано . Составить определитель Вронского.

Решение.

.

Прежде чем говорить о свойствах вронскиана, докажем теорему.

Теорема. Если система функций является линейно зависимой на промежутке , то одну из функций этой системы всегда можно представить линейной комбинацией остальных функций, т.е.

.

Доказательство. Пусть система функций является линейно зависимой, тогда для любого выполняется равенство:

,

где не все .

Пусть , тогда поделив все равенство на , найдем :

.

Мы видим, что линейно выражается через все остальные.

Теорема доказана.

Свойства определителя Вронского

Теорема 1 (без доказательства). Если система функций, являющихся линейно зависимыми на промежутке , то определитель Вронского этой системы равен 0 для любого .

Теорема 2 (без доказательства). Если система п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения

,

(1)

то определитель Вронского этой системы не обращается в нуль ни в одной точке интервала .

Теорема 3 (без доказательства). Если система частных решений однородного уравнения (1), то определитель Вронского этой системы либо равен нулю для любого , либо не равен нулю ни в одной точке из интервала .

12. Фундаментальная система решений

Определение. Любая совокупность п линейно независимых частных решений линейного однородного уравнения

,

(1)

называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Замечание. Пусть имеем систему из двух функций и . Эта система будет линейно зависимой, если отношение , и линейно независимой, если функция.

13. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения

Теорема. Если есть фундаментальная система решений линейного однородного уравнения

,

(1)

то его общее решение имеет вид:

,

где произвольные постоянные.

Доказательство. Проведем его для линейного однородного уравнения третьего порядка:

.

(*)

Пусть фундаментальная система решений этого уравнения. Требуется доказать, что функция общее решение уравнения (*). По теореме 3 (п.9 свойства решения однородного уравнения) эта функция является решением уравнения (*) при любом . Чтобы показать, что эта функция является общим решением, остается доказать, что если заданы начальные условия , то можно подобрать так, чтобы эти начальные условия выполнялись.

Найдем производные решения и подставим начальные данные. Получим систему:

Эта система линейная с тремя неизвестными . Определитель этой системы – это определитель Вронского для системы функций вычисленный в точке .

Так как система - фундаментальная, то , следовательно, система имеет единственное решение:

Функция будет удовлетворять начальным условиям.

По определению общего решения (понятие общего решения п. 6) мы утверждаем, что эта функция действительно общее решение уравнения (*). Теорема доказана.

Пример. Найти общее решение уравнения , если частные решения .

Решение. Отношение функция, следовательно, и линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений.

Значит, общее решение имеет вид:

.