(Общий вид),
где
и
однородные
функции одного измерения.
Пример
3.
.
М
и N
– это функции второго измерения,
следовательно, уравнение однородное.
Делаем замену:
.
Здесь лучше найти
.
Подставляем: 
.
.
5.3 Линейное уравнение первого порядка
Определение. Линейным
неоднородным уравнением первого порядка
называется
уравнение вида:
(2)
где
и
известные
функции, непрерывные в некотором
интервале
.
Если
,
то получим:
(3)
Уравнение (3) называется линейным однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению (2).
Линейное однородное уравнение (3) является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:
общее
решение уравнения (3).
5.4. Метод Бернулли
Решение неоднородного
уравнения (2) будем искать в виде
произведений двух функций:
,
где
и
пока
неизвестные функции.
.
Подставим в
уравнение (2):
.
Сгруппируем
слагаемые с и:
.
Потребуем, чтобы
выражение в скобках равнялось нулю и
тогда уравнение распадается на два
уравнения:
(4)
Из первого уравнения системы (4) найдем функцию v:
.
Подставим найденную v во второе уравнение системы (4):
;
Значит, общее решение уравнения (2) следующее:
.
Пример
4.
линейное
неоднородное уравнение.
Решение. Будем искать решение в виде , .
;
.
Подставим во второе уравнение системы:
;
.
Ответ: 
.
6. Дифференциальные уравнения высших порядков
Общий вид уравнения
п-го
порядка:
(1)
Задача
Коши для уравнения п-го порядка.
Пусть дано уравнение (1) и
число:
,
которые будем называть начальными
данными. Требуется найти решение
уравнения (1), удовлетворяющее начальным
условиям:
Например, для
уравнения II
порядка
начальных условий должно быть два:
.
Понятие общего решения
Если для уравнения
первого порядка общее решение содержит
одну произвольную постоянную, то для
уравнения п-го
порядка общее решение зависит от п
произвольных постоянных:
.
Определение. Функция
называется общим
решением
уравнения (1), если выполняются два
условия:
эта функция удовлетворяет уравнению (1) при любых значениях постоянных
;При заданных начальных условиях
постоянные
можно подобрать таким образом, чтобы
эти начальные условия выполнялись.
Понятие частного решения уравнения
Определение. Частным
решением
уравнения (1) называется любое его
решение, которое получается из общего
при конкретных значениях постоянных
.
Простейшим
уравнением п-го
порядка является уравнение:
.
Его общее решение находится путем п - кратного последовательного интегрирования обеих частей уравнения.
Пример. 
.
7. Уравнения, допускающие понижения порядка
Одним из основных методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка уравнения.
Рассмотрим на
примере уравнения второго порядка:
(1)
Случай
I. Пусть
левая часть уравнения (1) не содержит
явно искомой функции, т.е. не содержит
у
и имеет вид:
(2)
В этом случае понижение порядка производится с помощью подстановки:
.
Подставляя
и
в (2) порядок понизится.
Пример
1.
.
Замена:
.
.
Обратная замена:
.
Случай
II.
Пусть левая часть уравнения (1) не содержит
явно независимую переменную х,
т.е.
(3)
Тогда понижение
порядка достигается подстановкой
.
Дифференцирование
этого равенства по х
производится
по правилу сложной функции, т.е.
,
но
,
следовательно,
,
тогда
.
Пример
2.
.
Решение. Замена: , .
.
Обратная замена: 
.
Ответ: 
.
Случай III. Промежуточный интеграл.
Может оказаться
так, что левая часть уравнения (1) является
полной производной по х
от некоторого выражения
,
т.е.
.
Тогда уравнение принимает вид:
.
Интегрируя обе части уравнения, найдем промежуточный интеграл, при этом порядок уравнения понизится на единицу.
Пример
3.
.
Решение. Выпишем левую часть отдельно:
,
т.е. получаем:
.
Интегрируя, находим:
это
есть промежуточный интеграл;
.