4. Задача Коши

Решив задачу 1), мы получили закон движения при . Но с точки зрения физики этот закон неопределенный, т.к. он содержит – произвольную постоянную. Чтобы окончательно определить закон движения, нужно наложить условия на . Например, при пусть . Тогда закон .

Таким образом, мы пришли к задаче с начальным условием.

Задача Коши:

Пусть дано дифференциальное уравнение: (1)

и два числа и , которые мы будем называть начальными данными. Требуется найти решение уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию: или .

Геометрический смысл задачи Коши заключается в том, что интегральная кривая проходит через точку .

Пример. . Пусть . Уравнение с начальными условиями – это задача Коши.

Решение. . Получим частное решение – решение задачи Коши. , которая проходит через точку .

Теорема о существовании и единственности задачи Коши. Если функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные в области , то существует единственное решение уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию .

Геометрический смысл этой теоремы в том, что через каждую точку области проходит единственная интегральная кривая.

5. Простейшие типы дифференциальных уравнений I порядка

5.1 Уравнения с разделяющимися переменными

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделенными переменными, если в нем коэффициент при зависит только от , а при зависит только от . Общий вид: . Далее проинтегрировав, получим решение: .

Пример 1-2.

1) ;

общий интеграл (концентрические окружности).

2) .

Интеграл справа не берется в конечном виде. В этом случае говорят, что уравнение проинтегрировано в квадратурах.

Определение. Квадратурой называется взятие неопределенного интеграла в уравнении.

Уравнение является интегрированным в конечном виде, если его общий интеграл выражается через элементарные функции или квадратуры.

Определение. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, в котором коэффициенты при и распадаются на множители только от одной переменной.

Общий вид: .

Используя правило умножения и деления, разделив на , получим уравнение с разделенными переменными: .

Замечание. Здесь предполагается, что .

Пример 2. 1) . Разделяя дифференциалы:

.

2)

; .

5.2 Однородное уравнение

Определение. Функция называется однородной функцией k-го измерения, если при замене в ней на , а на выполняется равенство: .

Пример 1. .

т.е. функция второго измерения. Если , то получаем однородную функцию нулевого измерения, т.е. имеет место равенство:

при любом . Положим , получим:

.

Это говорит о том, что однородную функцию нулевого измерения можно представить как функцию отношения , т.е. .

Определение. Уравнение называется однородным, если его правая часть есть однородная функция нулевого измерения.

Общее решение однородного уравнения находится с помощью подстановки , где новая переменная, зависящая от , т.е. .

Однородное уравнение перепишем в виде: (1)

Из замены следует: .

Подставляя замену в уравнение (1), получаем:

; .

Таким образом, однородное уравнение с помощью подстановки всегда приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. .

Имеем однородную функцию нулевого измерения. Замена: . Подставляем в уравнение:

;

Возвращаясь к замене:

Однородное уравнение можно записать в дифференциальной форме: