Символьные и численные вычисления

Символьный процессор Mathcad позволяет решать ряд математических задач аналитически, без применения численных методов.

Основными являются:

• символьные операции с математическими выражениями с целью их упрощения: раскрытие скобок, выполнение сокращения и вынесение за скобки, приведение к общему знаменателю, разложение на множители и др.

• символьные вычисления:

  • пределы функций;

  • производные функций;

  • неопределенные и определенные интегралы;

  • разложение функций в ряд Тейлора;

  • решение уравнений;

  • интегральные преобразования Фурье, Лапласа, Z-преобразование.

• символьные матричные вычисления: транспонирование, обращение матрицы, вычисление определителей.

• подстановка символьных переменных в математическое выражение.

Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух различных вариантах

• С помощью команд меню Symbolics (Символика).

• С помощью оператора символьного вывода → , ключевых слов символьного процессора и обычных формул (в справочной системе Mathcad этот способ называется символьными вычислениями в реальном времени – live symbolic evaluation).

Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя ход вычислений. Для символьных вычислений при помощи команд предназначено главное меню Symbolics (Символика), объединяющее математические операции, которые Mathcad умеет выполнять аналитически.

Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе выше этого выделенного выражения (например, операторы присваивания значений каким-либо переменным). По этой причине, например, символьным преобразованиям через меню недоступны предварительные определения функций пользователя. Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом.

Для реализации второго способа применяются все средства Mathcad, пригодные для численных вычислений (например, панели Calculator (Калькулятор), Evaluation (Выражения) и т.д.), и специальная математическая панель инструментов, которую можно вызвать на экран нажатием кнопки Symbolic Keyword Toolbar (Панель символики) на панели Math (Математика). На панели Symbolic (Символика) находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований, например, таким как разложение выражения на множители, расчет преобразования Лапласа и другим операциям, которые в Mathcad нельзя проводить численно, и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции.

Оператор символьного вывода → вызывается одновременным нажатием клавиш Ctrl+<.>. Имеется и расширенный оператор символьного вывода, который имеет вид стрелки с двумя шаблонами и позволяет выполнять символьные операции с указанием вида преобразования выражения. Вызывается расширенный оператор символьного вывода одновременным нажатием клавиш Ctrl+Shift+<.>, или соответствующей кнопки панели Symbolic (Символика).

Не всякое выражение поддается аналитическим преобразованиям. Если это так (в силу того, что задача не имеет аналитического решения или оказывается слишком сложной для символьного процессора Mathcad), то в качестве результата выводится само выражение.

Символьный процессор Mathcad умеет выполнять основные алгебраические преобразования, такие как упрощение выражений, разложение их на множители, символьное суммирование и перемножение.

Упрощение символьных выражений в Mathcad осуществляется с помощью следующих команд меню Symbolic: Evaluate (Вычислить), Simplify (Упростить), Expand (Разложить), Factor (Разложить на множители), Collect (Привести подобные), Polynomial Coefficient (Коэффициенты полинома).

Упрощение выражений – наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор Mathcad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные алгебраические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества и др.

Чтобы упростить выражение с помощью команды Simplify (Упростить) меню Symbolic необходимо

• Ввести выражение.

• Выделить выражение целиком или его часть, которую нужно упростить.

• Выбрать команду Symbolics|Simplify (Символика|Упростить).

Для упрощения выражения при помощи оператора символьного вывода (расширенного) используйте ключевое слово simplify. При этом не забывайте, что, если каким-либо переменным, входящим в выражение, ранее были присвоены некоторые значения, то они будут подставлены в него при выполнении символьного вывода.

Упрощение выражений, содержащих числа, производится по-разному в зависимости от наличия в числах десятичной точки. Если она есть, то выполняется непосредственное вычисление выражений.

Операция символьного разложения, или расширения, выражений противоположна по смыслу операции упрощения. В ходе разложения раскрываются все суммы и произведения, а сложные тригонометрические зависимости раскладываются с помощью тригонометрических тождеств. Разложение выражений производится путем выбора команды Symbolics|Expand (Символика|Разложить) либо использованием вместе с оператором символьного вывода ключевого слова expand.

Разложение на простые множители производится при помощи команды Symbolics|Factor (Символика|Разложить на множители) либо использованием вместе оператором символьного вывода ключевого слова factor. Эта операция позволяет разложить полиномы на произведение долее простых полиномов, а целые числа – на простые сомножители.

Приведение подобных слагаемых полинома производится при помощи команды Symbolics|Collect (Символика|Привести подобные) либо использованием вместе оператором символьного вывода ключевого слова collect с именем переменной, относительно которой требуется привести подобные. После ключевого слова collect допускается задание нескольких переменных через запятую. В этом случае приведение подобных членов выполняется последовательно по всем переменным.

Чтобы разложить сложную дробь на долее простые, следует либо выполнить команду Symbolics| Variable| Convert to Partial Fractions (Символика| Переменная| Разложить на элементарные дроби), либо указать ключевое слово parfrac.

Применяя первый способ (через меню), необходимо перед выбором команды выделить переменную, по которой будет производиться разложение, а если используется второй способ (с оператором символьного вывода), то имя переменной следует указать после ключевого слова parfrac.

Команда Symbolics| Polynomial Coefficient (Символика|Коэффициенты полинома) выдает коэффициенты полинома, представленные в виде вектора.

Следует отметить, что математической теории оптимизации выражений не существует. Это высоко интеллектуальная работа, и искусственный интеллект Mathcad не может сравниться с естественным. В большинстве случаев при решении практических задач трудно выбрать нужную команду упрощения. Поэтому, пытаясь упростить выражение, обычно используют все команды наугад до получения приемлемого результата.

При практических расчетах широкое применение находит команда Substitute (Замена переменной). Она позволяет производить замену переменных в математических выражениях, выполнять численные расчеты и т.п.

Технология замены переменной через меню состоит в выполнении следующих операций

• Ввод выражения, которое заменяет переменную. Это выражение может быть числом, символьной переменной или выражением.

• Сохранение выражения в буфере с помощью команды Edit|Copy.

• Ввод выражения, требующего замены переменной.

• Выделение заменяемой переменной двойным щелчком мыши.

• Выполнение команды Symbolics| Variable| Substitute.

В результате этих действий на экране появится результат.

Следует отметить, что одной командой можно заменить одну переменную. Для замены n переменных процедуру замены переменной следует повторить n раз.

Для осуществления этой же операции при помощи оператора символьного вывода используется ключевое слово substitute, которое вставляется в документ одноименной кнопкой на панели Symbolic (Символика). После ключевого слова substitute необходимо ввести в местозаполнители логическое выражение, какую именно переменную какой формулой следует заменить.

Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора Mathcad является аналитическое вычисление пределов, производных, интегралов и разложений в ряд.

Все эти операции, при выполнении их через меню Symbolics (Символика), находятся в подменю Variable (Переменная). Соответственно, требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция. Для выделения переменной достаточно поместить ее между линиями ввода, но для большей наглядности лучше выделить ее черным цветом путем протаскивания указателя мыши через нужную часть выражения.

Все перечисленные операции можно осуществить и при помощи оператора символьного вывода. Для этого нужно с панели инструментов Calculus или одновременным нажатием соответствующей комбинации клавиш вывести нужный шаблон, заполнить пустые знакоместа, ввести оператор символьного вывода → и выполнить щелчок мышью вне выражения.

С помощью символьного процессора Mathcad можно осуществить разложение выражения или функции в ряд Тейлора по любой переменной x в точке x=0, т.е. представить это выражение суммой вида , где – некоторые коэффициенты, не зависящие от x, но, возможно, являющиеся функциями других переменных, входящих в исходное выражение.

Чтобы разложить выражение в ряд Тейлора через меню

• Введите выражение.

• Выделите имя переменной, по которой проводите разложение.

• Выполните команду Symbolics| Variable |Expand to Series (Символика| Переменная| Разложить в ряд.

• В появившемся диалоговом окне введите желаемый порядок аппроксимации (Order of Approximation) и нажмите кнопку OK.

Результат разложения появится под выражением.

Для разложения в ряд при помощи оператора символьного вывода, используйте ключевое слово series, после которого, через запятую, указывается имя переменной и порядок аппроксимации.