1.12 Свойства вероятностей

С1. Р( )=О –вер. невозможного события равна 0;

С2. - сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

С3 Р(А) 1 – вероятность любого события не превосходит единицы;

С4 Если ,т.е. событие А влечет за собой событие В, то ;

С5 Если события образуют полную группу несовместных событий, т.е. ,то .

Доказательство: С1. Так как , то согласно аксиоме А3 имеем , следовательно .

С2. Поскольку , то , а так как , то в силу аксиом А2 и А3 получаем .

С3. Из свойства С2 вытекает, что . С учетом аксиомы А1 получаем .

(Остальные самостоятельно)

ПР. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу вынимают три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы одна «дама».(0,31)

1.13 Условные вероятности

Пусть А и В – два события рассматриваемые в данном опыте. Наступление одного из этих событий может влиять на возможность наступления другого. Для характеристики зависимости одних событий от других вводим понятие условной вероятности.

ОПР. Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события В, причем , обозначим символом ,т.е.

(1.12)

Вероятность Р(В) в отличие от условной, называется безусловной вероятностью.

Отметим, что условная вероятность, скажем , удовлетворяет аксиомам Колмогорова: , очевидно; , , если . Поэтому для условной вероятности справедливы все свойства из аксиом в п.1.12.

ПР. В урне 2 белых и 7 черных шаров. Из неё последовательно вынимают два шара. Какова вероятность того, что 2- й шар окажется белым при условии, что первый был черным.

Решение. Событие В – 1-ый шар черным, событие А – 2-ой шар белый.

1 способ :

2 способ : , так как событие В произошло , то в урне осталось 8 шаров, из которых 2 белых.

1.14. Вероятность произведений событий. Независимость событий

Из определения условной вероятности следует, что

(1.13)

Данное равенство называется правилом или теоремой умножения вероятностей. Это правило справедливо и для n случаев.

(1.14)

ПР. в коробке 4 белых, 3 синих и 2 черных шара. Наудачу последовательно вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что 1-ый шар будет белым, 2-ой- синим, 3-ий- черный(событие А)?

Решение. А₁ – первым вытащили белый шар; А₂ – вторым вытащили синий шар; А₃– третий вытащили черный шар. Тогда данное событие запишем в виде .

По правилу умножения вероятностей . Но ; , так как шаров осталось 8, а число благоприятных случаев для события равно 3; , так как уже два шара вытащены. Следовательно .

ОПР. Событие А называется независимым от события В, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. выполняется равенство

(1.15).

Лемма1.1 (о взаимной независимости событий). Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Доказательство: Из равенства (1.13),с учетом равенства (1.15), следует , т.е.

ОПР. Событие А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятность появления другого события.

(1.16)

ПР. В урне 3 белых шара и 7 черных шаров. Взят один черный шар, затем возвращен в урну, после перемешивания взят другой – белый шар. Найти вероятность Р(АВ).