2 курс / 3 / 03

1.1. Краткие теоретические сведения из курса математического анализа

1.2. Постановка задачи

1.3. Варианты заданий

1.4.Методические указания

1.5.Критерии оценивания работы

Добавил:

TaskeFox Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Астраханский государственный технический университет

Предмет:

Программирование

Файл:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

21.08.2019

Размер:

230 Кб

Скачать

☆

при различных параметрах суммирования х. Каждое слагаемое суммы зависит от параметра х и номера

Лабораторная работа № 3

Вычисление функции разложением в ряд

Цель: закрепление навыков в организации итерационных и арифметических циклов, использования вспомогательных алгоритмов (функций с передачей параметров по значению).

Действительная функция f(x) называется аналитической в точке ε, если в некоторой окрестности x-ε <R этой точки функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):

(1)		f ′′(ε)	2
	f ( x) = f (ε) + f ′(ε)( x −ε) + 2!		(x −ε) +...+

При ε=0 получаем ряд Маклорена:

(3)	Rn (x) = f (x) − ∑n	f ( k ) (ε)	(x −ε) k
		k !
	k =0

f (n) (ε) ( x −ε)n +...

(x)n +...

называется остаточным членом и представляет собой ошибку при замене функции f(x) полиномом Тейлора. Для ряда Маклорена

(4)	R (x) =	f (n+1) (θ x)	x n+1 где 0<θ<1.

	n	(n +1)!

Таким образом, вычисление значения функции можно свести к вычислению суммы числового ряда

(5)S = z1+z2+ . . . +zn+ . . .

Известно, что числовой ряд называется сходящимся, если существует предел последовательности его частных

сумм:

(6)S =lim Sn , где Sn= z1+z2+ . . . +zn

n→∞

Число S называется суммой ряда.

Получаем S = Sn + Rn , где Rn - остаток ряда, причем R→0 при n→∞.

Для нахождения суммы S сходящегося ряда (5) с заданной точностью ε нужно выбрать число слагаемых n столь большим, чтобы имело место неравенство Rn <ε. Тогда частная сумма Sn приближенно может быть принята за точную сумму S ряда (5).

Следует выбрать n так, чтобы имело место неравенство |Sn+1-Sn|<ε или |zn|<ε.

Задача сводится к замене функции степенным рядом и нахождению суммы некоторого количества слагаемых

S = ∑an (x, n)

n, определяющего место этого слагаемого в сумме.

Обычно формула общего члена суммы принадлежит одному из следующих трех типов:

а)	x n					x 2n+1
		;		(−1)n			;
	n!
					(2n +1)!
б)	cos(nx) ;			sin(2n −1)x ;
		n		2n −1
в)	x 4n+1		;	(−1)n		cos(nx)	;
	4n +1					n2

x 2n ;

(2n)!

cos(2nx) ; 4n2 −1

n2 +1 ( x )n . n! 2

Вслучае а) для вычисления члена суммы zn целесообразно использовать рекуррентные соотношения, т. е. выражать последующий член суммы через предыдущий: zn+1 = ψ(x, n)·zn. Это позволит существенно сократить объем вычислительной работы. Кроме того, вычисление члена суммы по общей формуле в ряде случаев невозможно (например из-за наличия n!).

Вслучае б) применение рекуррентных соотношений нецелесообразно. Вычисления будут наиболее

эффективными, если каждый член суммы вычислять по общей формуле zn = φ(x, n).

В случае в) член суммы целесообразно представить в виде двух сомножителей, один из которых вычисляется по рекуррентному соотношению, а другой непосредственно zn=φ(x, n)*сn(x,n), где сn=cn-1ψ(x,n).

Использование разложения функции в ряд Тейлора позволяет вычислять значения этой функции с использованием компьютера. Математическая библиотека представляет собой набор функций, часть из которых вычисляется именно вычислением значения как суммы соответствующего ряда.

Поэтому предпочтительнее не вызывать функцию pow для возведения переменной в квадрат

Для х, изменяющегося от a до b (интервал [a ; b] целиком лежит внутри интервала, указанного в третьей колонке) с шагом h = b10−a , вычислить функцию y=f(x), используя ее разложение в степенной ряд (вторая колонка) в

двух случаях:

а) для заданного количества слагаемых N (величина зависит от свойств степенного ряда, примерное значение N указано в четвёртой колонке);

б) для заданной точности ε (близкое к нулю положительное число, например, 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001).

Числа N, ε, a и b ввести с клавиатуры и проверить на корректность. Для сравнения найти точное значение функции, указанное в пятой колонке.

Результаты расчетов вывести на экран в виде таблицы (рамка не обязательна):

N п/п	x	Sn	Se	S
1
2
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
10

Здесь x − значение параметра; Sn − значение суммы для заданного n; Se − значение суммы для заданной точности; S −точное значение функции.

Примерная блок-схема

(защита от дурака не показана)

пуск

ввод a, b, N, e

h = (b - a) / 10

x = a, b, h

Вычисление Sn

Вычисление Se

S = f(x)

вывод x, Sn, Se, S

стоп

№

Разложение в ряд функции f(x)

диапазон

Функция f(x)− сумма ряда

изменения

аргумента

(для проверки)

cos2x

cosnx

9π

S = cos x +

+.....+

5 ≤ x ≤

S = −ln

2 sin

S = x −

+....+(−1)n

2n+1

0,1 ≤ x ≤ 1

S = sin x

(2n +1)!

3.	S = x sin	π	+ x 2 sin 2	π	+....+x n sin n	π	0,1 ≤ x ≤ 0,8 40	S =	x sin π	4
		4		4		4
		4		4		4			− 2x cos π		+ x2
								1	− 2x cos π	4	+ x2
										4

	Разложение в ряд функции f(x)	диапазон	Функция f(x)− сумма ряда
№	Разложение в ряд функции f(x)	изменения N	Функция f(x)− сумма ряда
		аргумента	(для проверки)
		аргумента

S =

1 +

cos x

+....+

cosnx

0,1 ≤ x ≤ 1

S = ecos x cos(sin x )

1 3 x

1 3 5 x

1 3 5 ... ( 2n −1)x

2n+1

S = arcsin x

....

| x |≤1

2 3

2 4 5

2 4 6 7

2 4 6 ... (2n)(2n +1)

S =

1 +

ln 3

x +

+....+

0,1 ≤ x ≤ 1

S = 3

S = x −

+....(−1)

2n+1

0,1 ≤ x ≤ 1

S = arctgX

2n +1

x +1

S =

2 1

.... +

| x |>1

S = ln

x −1

( 2n

−1)x

2n−1

4n+1

1+ x 1

S = x +

+.....+

0,1 ≤ x ≤ 0,8

S =

arctgX

1− x

4n +1

10.

S =

1 + 3x

+.....+

2n +1

0,1 ≤ x ≤ 1

S =(1 + 2 x2 )e x2

11.

π −

1 3 x

1 3 5 x

... ( 2n −1 )x

2n+1

S = arccos x

−

....

| x |≤1

2 3

2 4 5

2 4 6 7

... (2n)(2n +1)

12.

2n2

0,1 ≤ x ≤ 1

S =(1−

)cos x −

sin x

S =1 − 2 x

+.....+(−1)

(2n)! x

13.

x −1

2n+1

0,2 ≤ x ≤ 1

S =

+.....+

S = 2 ln x

x +1

( x +1)

2n +1

( x +1)

14.

S =

1 −

x 2

+....+(−1)

x 2n

0,1 ≤ x ≤ 1

S = cos x

(2n)!

15.

x 2

x n

1 ≤ x ≤ 2

S = e x

S =1 + 1! + 2! +.....+ n!

1.Алгоритм решения задачи сводится к трем циклам, причем два из них вложены в третий. Внешний цикл организует изменение параметра х. Внутренние циклы суммируют слагаемые при фиксированном параметре x (первый цикл − арифметический для заданного n, второй − итерационный для заданной точности ε). При организации этих циклов следует обратить внимание на правильный выбор способа вычисления очередного слагаемого zn (в зависимости от его вида) и правильное присвоение начальных значений переменным цикла.

2.Написать программу для решения задачи с использованием функций. В основной программе внутри цикла по переменной x вызываются поочередно функции для вычисления Sn (зависит от параметров x и N), Se (зависит от параметров x и e), и S (зависит от параметра x), а затем на экран выводятся полученные значения.

3.Написать программу для решения задачи с использованием механизма перегрузки функций (все три функции имеют одинаковое имя, но различаются по типу и количеству параметров, о перегрузке можно прочитать в любом из учебников).

f (x) = f (0)

+ f ′(0)(x) + 2!

В таблице приведены критерии, по которым студент может оценить свою работу.

Критерии оценивания заданий	Процент
При наличии синтаксических ошибок (программа не транслируется) работа не	(набранные баллы)*0
оценивается (0 процентов выполнения)
Результаты работы всех трёх программ совпадают на одинаковых входных данных. При	-50%
N, большем или равном указанному в таблице вариантов, Sn≈Se≈S, причём \|Se-S\|≤e .	-50%
Расхождение в результатах вычислений говорит о наличии логических ошибок.
Работающая программа 1 (вложенные циклы, функции пользователя отсутствуют)	20
Работающая программа 2 (три пользовательских функции)	20
Работающая программа 3 (Sn, Se, S вычисляются с помощью перегруженной функции)	20
Итого -	Шестьдесят баллов
Дополнительно к этому общая оценка работы:
Вычисления организованы рациональным способом, в частности, степени величин при	10

суммировании ряда вычисляются накоплением, а не использованием функции pow(); величины,
не изменяющиеся в теле цикла, вынесены за пределы тела цикла.
Аккуратное форматирование, комментариев необходимое и достаточное количество.	5
Программа выводит сведения о разработчике и номер варианта	5
Ввод данных организован таким образом, чтобы свести к минимуму ошибки при вводе,	10
организована защита от дурака
Вывод данных на экран соответствует заданию	10
Итого	100 %

Соседние файлы в папке 3

#
21.08.2019230 Кб2603.pdf
#
21.08.20191 Кб273.sln