II. Расчет потребления ресурсов фрагментами программы.

В качестве потребляемых ресурсов будем рассматривать:

1. Временные ресурсы:

1. время выполнения программы

2. время задержки, вызванной обработкой запроса

1. Емкостные ресурсы (потребление байтов памяти в процессе выполнения программы)

Проблема назначения затрат потребления ресурсов зависит от уровня рассмотрения программы:

1. на машинном уровне – это требует представления программы на языке команд машины для всех исследуемых моделей машин. Это трудоемкий процесс, который облегчается только тем, что эквивалентные по потреблению ресурсов команды могут группироваться и взаимозаме-няться, т.к. модель программы не должна давать истинный результат вычисления.

2. повышение уровня описания фрагментов программы путем использования макрокоманд, реализующих типовые вычислительные процессы.

Однажды оценив потребление ресурсов макрокомандой можно использовать это значение в дальнейшем для всех вариантов ее использования в программе.

3. представление программы на языке высокого уровня: выбирается реализация типовых процессов обработки на выбранном языке и оценивается потребление ресурсов для каждого из этих процессов.

Для 2 и 3 повышается разброс(и, следовательно, уменьшается точность задания) потребляемых ресурсов из-за различиях в компиляторах и разброса входных данных.

В качестве математической модели исследуемых программ будем использовать цепи Маркова с дискретным временем. При этом вершинам графа соответствуют состояния цепи Маркова, а дугам соответствуют переходы между состояниями.

2.2. Цепи Маркова

Последовательность случайных величин _t, где tT - время, называется цепью Маркова с состояниями S = { 1,2, ... , N }, если

_N  P( _t=k ) = 1, tT (2.1) ^k=1

и при любых 0  t₁ < t₂ < ... t_n < g < t, любых i,j S и любых подмножествах B₁, B₂, ..., B_n множества S выполняется равенство

P( _t = j | _t1  B₁, ... , _tn  B_n, _g = i ) = P( _t = j | _g = i ) (2.2)

Приведенное свойство означает, что при фиксированном положении системы в данный момент времени будущее поведение системы (t > g) не зависит от поведения системы в прошлом, или более кратко: при фиксированном настоящем будущее не зависит от прошлого. Данное свойство называется свойством марковости.

В приложениях значения случайных величин _t интерпретируются как номера состояний изучаемой системы, которая в моменты времени t меняет свое состояние. Цепь Маркова, в которой моменты времени t изменения состояний дискретны (то есть t=0,1,2,…), называется цепью с дискретным временем (ДВ), в отличие от цепей с непрерывным временем (НВ), в которых изменение состояний происходит в произвольные моменты времени. В дальнейшем будем рассматривать только цепи с ДВ.

Будем называть цепь Маркова _t однородной, если при любых i,j  S, вероятности

P( _t+1 = j | _t = i ) = p_ij, t = 0,1,2,..., (2.3)

не зависят от t. Матрицу P = ║ p­_ij ║, элементами которой являются вероятности, называют матрицей вероятностей переходов, а вектор q = ( q₁, q₂, ... , q_N ), где q_i = P( ₀ = i ), i = 1,2, ... , N, - вектором начальных вероятностей. Очевидно, что значения p­_ij и q_i должны удовлетворять условиям

p­_ij ≥ 0, q_i ≥ 0 (2.4) _N  q_j = 1 (2.5) ^j=1 _N  p_ij = 1 (2.6) ^j=1

Для цепи, заданной матрицей вероятностей переходов P и вектором начальных вероятностей q, можем получить вектор распределений вероятностей в некоторый момент времени t

t q( t ) = q *  P k k = 1

для случая неоднородной цепи (2.7)

q( t ) = q * P ^t для случая однородной цепи (2.8)