Исчисление высказываний.
2.1. Понятие формулы. Определение выводимых формул.
Исчислением называется такая логическая система, к которой осуществлен аксиоматический подход (выбрана определенная система аксиом в этой логической системе и указаны некие правила, позволяющие получить в этой логической системе новые формулы).
Рассмотрим аксиоматическую логическую систему, которая адекватна алгебре высказываний и называется исчислением высказываний.
Алфавит исчисления высказываний состоит из трех категорий:
переменные высказывания: A, B, C, D, F…
логические связки: Λ, V, →, ¬;
скобки.
Для обозначения формул будем использовать символы:α, β, γ и д.т.
Под правильно построенной формулой будем понимать такие, и только такие слова, которые могут быть образованы из исходных формул путем последовательного применения правил образования новых формул.
Определение ППФ:
а) любое переменное высказывание – ППФ;
б) если α – ППФ, β – ППФ, то (α→β), ¬α, (αΛβ) также ППФ.
Чтобы доказать что данное слово является ППФ, нужно: показать, что слово удовлетворяет определению ППФ. То есть нужно рассмотреть части слова и определить, что они являются ППФ.
Например, . А и В – ППФ по 1 пункту определения, и - ППФ по 2 пункту определения, а следовательно и вся формула есть ППФ.
Части формулы легко усмотреть непосредственно из транскрипции формулы. Для этого и служат скобки, которые указывают последовательность, которой нужно производить операции, чтобы построить формулу. Для сокращения записи условимся опускать внешние скобки и воспользуемся правилами опускания скобок, что и в алгебре высказываний: Λ – связывает сильнее остальных, V – сильнее, чем →.
Выделим класс формул, которые будем называть выводимыми в исчислении высказываний.
Определение выводимых формул:
Сначала определяются исходные выводимые формулы, а затем определяются правила, позволяющие из имеющихся выводимых формул образовывать новые. Эти правила будем называть правилами вывода, а исходные выводимые формулы – аксиомами.
Аксиомы исчисления высказываний:
В качестве аксиом выберем систему аксиом Лукасевича.
А1. ;
А2. ;
А3. , где А, В, С – произвольные правильно построенные формулы.
Каждая из аксиом задает лишь форму аксиомы, следовательно, каждая из них задает бесконечное множество формул. И поэтому А1, А2 и А3 называются схемами аксиом.
Правила вывода:
правило подстановки:
Пусть α – ППФ, содержащая переменное высказывание А. Тогда если α – выводимая формула исчисления высказываний, то, заменив в ней А всюду, где она встречается, произвольной формулой β, мы также получим выводимую формулу.
(α): если α – выводимая формула, то (α) – также выводимая формула. Каковы бы ни были переменное высказывание А и формула β.
Пример:
≡ 2) правило заключения:
Если α и α→β - выводимые формулы исчисления высказываний, то β также выводимая формула.
Определение выводимых (доказуемых) в исчислении высказываний формул:
ППФ α доказуема тогда и только тогда, когда мы можем построить цепочку ППФ, которые удовлетворяют следующим требованиям:
α1 – одна из аксиом или заданных гипотез;
αк ≡ α;
αi(1≤i≤k) – аксиома или гипотеза, или формула, полученная из предыдущих звеньев, применяя к ним правила вывода.
Введем некоторые обозначения: пусть μ – произвольная формула, которая выводима в исчислении высказываний, а τ – формула, для которой формула – выводимая формула в исчислении высказываний. Слово «выводима» («доказуема») при записи будем обозначать символом ├.
Теорема 1:
├В→μ – выводимая в исчислении высказываний формула.
Доказательство:
├А→(B→A) аксиома А1;
А→(B→A)≡├μ→(B→μ);
├B→μ – правило заключения к шагу 2.
Теорема 2:
├A→A.
Доказательство:
├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) аксиома А2;
(A→(B→C))→((A→B)→(A→C))≡├(А→(B→A))→((A→B)→(A→A));
├(A→B)→(A→A) - правило заключения к шагу 2 и аксиоме А1;
(A→B)→(A→A)≡├(A→μ)→(A→A);
├A→A – правило заключения к шагу 4 и теореме 1.
Пример, доказать что является выводимой в исчислении высказываний формулой.
Доказательство:
1. ├ - аксиома А3;
2. ≡ ;
3. ├ – по теореме 2;
4. ├ - по правилу заключения к шагам 2 и 3.