2. Исчисление высказываний.

2.1. Понятие формулы. Определение выводимых формул.

Исчислением называется такая логическая система, к которой осуществлен аксиоматический подход (выбрана определенная система аксиом в этой логической системе и указаны некие правила, позволяющие получить в этой логической системе новые формулы).

Рассмотрим аксиоматическую логическую систему, которая адекватна алгебре высказываний и называется исчислением высказываний.

Алфавит исчисления высказываний состоит из трех категорий:

1. переменные высказывания: A, B, C, D, F…

2. логические связки: Λ, V, →, ¬;

3. скобки.

Для обозначения формул будем использовать символы:α, β, γ и д.т.

Под правильно построенной формулой будем понимать такие, и только такие слова, которые могут быть образованы из исходных формул путем последовательного применения правил образования новых формул.

Определение ППФ:

а) любое переменное высказывание – ППФ;

б) если α – ППФ, β – ППФ, то (α→β), ¬α, (αΛβ) также ППФ.

Чтобы доказать что данное слово является ППФ, нужно: показать, что слово удовлетворяет определению ППФ. То есть нужно рассмотреть части слова и определить, что они являются ППФ.

Например, . А и В – ППФ по 1 пункту определения, и - ППФ по 2 пункту определения, а следовательно и вся формула есть ППФ.

Части формулы легко усмотреть непосредственно из транскрипции формулы. Для этого и служат скобки, которые указывают последовательность, которой нужно производить операции, чтобы построить формулу. Для сокращения записи условимся опускать внешние скобки и воспользуемся правилами опускания скобок, что и в алгебре высказываний: Λ – связывает сильнее остальных, V – сильнее, чем →.

Выделим класс формул, которые будем называть выводимыми в исчислении высказываний.

Определение выводимых формул:

Сначала определяются исходные выводимые формулы, а затем определяются правила, позволяющие из имеющихся выводимых формул образовывать новые. Эти правила будем называть правилами вывода, а исходные выводимые формулы – аксиомами.

Аксиомы исчисления высказываний:

В качестве аксиом выберем систему аксиом Лукасевича.

А1. ;

А2. ;

А3. , где А, В, С – произвольные правильно построенные формулы.

Каждая из аксиом задает лишь форму аксиомы, следовательно, каждая из них задает бесконечное множество формул. И поэтому А1, А2 и А3 называются схемами аксиом.

Правила вывода:

1. правило подстановки:

Пусть α – ППФ, содержащая переменное высказывание А. Тогда если α – выводимая формула исчисления высказываний, то, заменив в ней А всюду, где она встречается, произвольной формулой β, мы также получим выводимую формулу.

(α): если α – выводимая формула, то (α) – также выводимая формула. Каковы бы ни были переменное высказывание А и формула β.

Пример:

≡ 2) правило заключения:

Если α и α→β - выводимые формулы исчисления высказываний, то β также выводимая формула.

Определение выводимых (доказуемых) в исчислении высказываний формул:

ППФ α доказуема тогда и только тогда, когда мы можем построить цепочку ППФ, которые удовлетворяют следующим требованиям:

1. α₁ – одна из аксиом или заданных гипотез;

2. α_к ≡ α;

3. α_i(1≤i≤k) – аксиома или гипотеза, или формула, полученная из предыдущих звеньев, применяя к ним правила вывода.

Введем некоторые обозначения: пусть μ – произвольная формула, которая выводима в исчислении высказываний, а τ – формула, для которой формула – выводимая формула в исчислении высказываний. Слово «выводима» («доказуема») при записи будем обозначать символом ├.

Теорема 1:

├В→μ – выводимая в исчислении высказываний формула.

Доказательство:

1. ├А→(B→A) аксиома А1;

2. А→(B→A)≡├μ→(B→μ);

3. ├B→μ – правило заключения к шагу 2.

Теорема 2:

├A→A.

Доказательство:

1. ├(A→(B→C))→((A→B)→(A→C)) аксиома А2;

2. (A→(B→C))→((A→B)→(A→C))≡├(А→(B→A))→((A→B)→(A→A));

3. ├(A→B)→(A→A) - правило заключения к шагу 2 и аксиоме А1;

4. (A→B)→(A→A)≡├(A→μ)→(A→A);

5. ├A→A – правило заключения к шагу 4 и теореме 1.

Пример, доказать что является выводимой в исчислении высказываний формулой.

Доказательство:

1. ├ - аксиома А3;

2. ≡ ;

3. ├ – по теореме 2;

4. ├ - по правилу заключения к шагам 2 и 3.