1.3. Нормальные формы формул логики высказываний Сводка теории

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных или их отрицаний, в которой каждая переменная или ее отрицание встречаются не более одного раза.

Всякая дизъюнкция элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ).

Следует отметить, что ДНФ функции (или формулы) может быть не единственной.

Алгоритм приведения к ДНФ может быть описан с привлечением приведенных ранее равносильностей или основных логических законов (см. разд. 1.2). Сначала с помощью закона (II.1) и законов де Моргана (II.2), (II.3) все отрицания «спускаются» до переменных. Затем раскрываются скобки, с помощью логических законов (I.7), (I.8), (IV.7) и (IV.8) удаляются лишние конъюнкции и повторения переменных в конъюнкциях, а с помощью логических законов (IV.1.) – (IV.6) удаляются константы.

Элементарная конъюнкция называется правильной, если в нее каждая переменная входит не более одного раза (включая ее вхождения под знаком отрицания).

Правильная элементарная конъюнкция называется полной относительно переменных , если каждая из этих переменных входит в нее один и только один раз (может быть, под знаком отрицания).

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) относительно переменных называется ДНФ, в которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все элементарные конъюнкции правильны и полны относительно переменных .

Поскольку из вида СДНФ бывают ясны ее переменные, будем говорить просто СДНФ, опуская слова: «относительно переменных ».

Всякую ДНФ можно привести к СДНФ расщеплением конъюнкций, которые содержат не все переменные, например:

_.

Если из формулы F с помощью некоторых равносильностей можно получить формулу Ф, то F можно получить из Ф, используя те же равносильности. Это соображение позволяет доказать следующую теорему.

Теорема 1.1

Для любых двух равносильных формул F и Ф существует тождественное преобразование F в Ф с помощью соотношений (I.1.) – (IV.8).

Замечание

Важность этой теоремы в том, что соотношений (I.1.) – (IV.8) оказывается достаточно для любого тождественного преобразования в булевой алгебре.

Аналогично ДНФ определяется конъюнктивная нормальная форма (КНФ) как конъюнкция элементарных дизъюнкций.

Переход от ДНФ к КНФ можно осуществить следующим образом. Пусть ДНФ F имеет вид: , где – элементарные конъюнкции. Формула приводится к ДНФ .

Тогда . По законам Де Моргана отрицания элементарных конъюнкций преобразуются в элементарные дизъюнкции, что и даст КНФ.

Аналогом СДНФ является совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ), каждая элементарная дизъюнкция которой содержит все переменные. Построение СКНФ из КНФ проводится аналогично тому, как из ДНФ получается СДНФ.

Таким образом, любая формула алгебры логики высказываний может быть записана в СДНФ (кроме тождественно-ложной) или в СКНФ (кроме тождественно-истинной).

Примеры Пример 1.13

Убедиться, является ли данная формула ДНФ, КНФ, СДНФ или СКНФ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

Решение

а) Данная формула является КНФ (конъюнкция элементарных дизъюнкций), но не СКНФ, так как элементарные дизъюнкции не являются полными.

б) Формула не является ДНФ, так как последняя конъюнкция не является элементарной. Но формулу можно с помощью закона Де Моргана преобразовать к равносильному виду

,

который является ДНФ, но не СДНФ (не все элементарные конъюнкции полны).

в) Формула не является ни ДНФ, ни КНФ, поскольку содержит импликацию.

г) СДНФ, состоящая из одной элементарной полной конъюнкции; либо КНФ, но не СКНФ, так как состоит из трех элементарных неполных дизъюнкций.

д) СКНФ.

е) СДНФ.

Пример 1.14

Зная таблицу истинности формулы F, записать ее СДНФ и СКНФ:

Решение

1) Получение СДНФ.

Выбираем те наборы значений А, В, С, при которых F = 1, и строим по ним соответствующие элементарные конъюнкции:

1 1 0 ,

1 0 0 .

Тогда дизъюнкция этих элементарных конъюнкций и будет СДНФ формулы F:

.

2) Получение СКНФ.

Выбираем те наборы значений А, В, С, при которых F = 0, и строим по ним соответствующие элементарные дизъюнкции:

1 1 1 ,

1 0 1 ,

0 1 1 ,

0 1 0 ,

0 0 1 ,

0 0 0 .

Тогда конъюнкция этих элементарных дизъюнкций и будет СКНФ формулы F:

.

Пример 1.15

Преобразовать формулу F(a, b. c)= к СДНФ и СКНФ.

Решение

1). Получим вначале СДНФ:

.

2). Для получения СКНФ преобразуем каждый конъюнктивный член:

;

.

Тогда имеем:

.

Пример 1.16

Преобразовать формулы к ДНФ:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решение

а)

– СДНФ.

б)

- ДНФ.

в)

– ДНФ .

г)

– ДНФ.

Пример 1.17

Построить цепь для электрифицированной игры с монетами. По установленному сигналу каждый из двух игроков замыкает или размыкает переключатель, находящийся под его управлением. Если оба игрока делают одно и то же, то выигрывает первый игрок (А); если противоположное, то выигрывает второй игрок (В). Построить цепь так, чтобы загоралась лампочка, если выигрывает игрок А. Записать ДНФ соответствующей формулы.

Решение

Обозначим переменными А и В действия игроков, приписывая переменной значение 1, если игрок замыкает свой переключатель, и 0, если размыкает. Тогда таблица истинности для искомой формулы будет иметь следующий вид:

По описанной ранее технологии с помощью строк, в которых формула принимает значение 1, записываем ДНФ:

.

Для построения соответствующей электрической цепи будем использовать прямые (для описания значений А и В) и обратные (для описания значений и ) двухпозиционные переключатели. Значение 1 переменной интерпретируется как состояние переключателя «ток проходит», значение 0 – «ток не проходит». Последовательное соединение переключателей будет имитировать конъюнкцию соответствующих переменных (ток по этому участку цепи пойдет только в случае, когда обе переменные истинны одновременно). Параллельное соединение будет имитировать д изъюнкцию.

Тогда условиям задачи будет удовлетворять, например, следующая электрическая цепь (рис. 1.7).

Задачи

1.16. Привести к ДНФ:

а) ;

б) .

1.17. Привести к СДНФ формулы из задачи 1.16.

1.18. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

1.19. Доказать тождественную ложность формул:

а) ;

б) .

1.20. Привести формулы к ДНФ (с помощью тождественных преобразований) и, если можно, упростить:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

1.21. Доказать тождественную истинность формул:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

1.22. Доказать тождественную ложность формул:

а) ;

б) ;

в) .

1.23. Двумя способами: с помощью истинностных таблиц и с помощью тождественных преобразований привести к СДНФ формулы из задачи 1.20.

1.24. Привести к СДНФ, т.е. найти СДНФ, равносильную данной формуле:

а) ;

б) ;

в) .

1.25. Привести к СКНФ, т.е. найти СКНФ, равносильную данной формуле:

а) ;

б) ;

в) .

1.26. Пусть формула U записана в СКНФ. Строим формулу В следующим образом:

1) выписываем конъюнкцию дизъюнктивных членов, не входящих в U;

2) меняем  на ,  на , на , на .

Доказать, что В – СДНФ формулы U.

1.27. По СКНФ формулы U построить:

а) СКНФ формулы ;

б) СДНФ формулы .

1.28. По СДНФ формулы U и СДНФ формулы В построить:

а) СКНФ и СДНФ формулы ;

б) СКНФ и СДНФ формулы ;

в) СКНФ и СДНФ формулы .