1. Элементы логики высказываний

1.1. Высказывания и операции над ними, формулы Сводка теории

Имена предметов называются индивидными (предметными) константами. В «грамматике» формального языка индивидные константы играют роль существительных.

Выражения, содержащие знаки «переменных» и превращающиеся в имена предметов, если вместо переменных подставить некоторые имена предметов, называются именными формами. Именные формы мы будем называть индивидными (предметными) переменными. Областью изменения индивидных переменных являются не только числа, но и совокупность любых индивидов (в частности, для нематематического языка – любые предметы или даже любые утверждения). В «грамматике» формального языка индивидные переменные играют роль местоимений.

Соединяя два имени чисел знаками равенства или неравенства, получаем записи некоторых утверждений – это высказывания, называемые еще пропозициональными переменными, если они содержат индивидные переменные.

Общее логико-философское определение этого понятия можно сформулировать так: высказывание – это мысленное отражение объективной связи между предметами. Оно истинно, если адекватно отражает эту связь, в противном случае – ложно. В естественном языке высказывание существует в виде повествовательного предложения. Если это предложение простое, т.е. описывает отдельный факт и не может быть разделено на более мелкие осмысленные предложения, то соответствующее высказывание называется простым.

В формальном языке высказывание представляется выражением, содержащим индивидные константы и некоторые специальные символы, обозначающие связь между ними. В математической логике высказывания рассматриваются лишь с позиции их свойства быть истинными или быть ложными, конкретное содержание высказываний игнорируется.

Роль союзов, с помощью которых в естественном языке из простых предложений формируются сложные, в формальном языке играют логические (или пропозициональные) связки, называемые также логическими операциями.

Будем интерпретировать логические связки как функции, определенные на так называемом булевом (по имени английского математика Дж. Буля) множестве В = {И, Л}, {«истина», «ложь»} или {1, 0}, со значениями в этом же множестве следующим образом:

отрицание	, ;
конъюнкция	1&1 = , ;
дизъюнкция	, ;
импликация	, ;
эквивалентность	.

Действие этих операций (связок) можно представить в виде символических таблиц, которые будем называть таблицами истинности данных логических операций. Например, для операции отрицания таблица истинности выглядит так:

1	0
0	1

Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: «если =1, то = = 0», т.е. одновременно истинно и ложно) мы фактически и приняли в качестве определения операции отрицания.

В технических приложениях операцию отрицания называют инверсией. Эту операцию можно условно проиллюстрировать работой следующей электрической цепи (рис. 1.1).

Д ействие в цепи: если = 1, то кнопка нажата, цепь разомкнута и лампочка не горит, т.е. = 0; если = 0, то цепь замкнута и лампочка горит, т.е. = 1.

Таблица истинности для операции конъюнкции, соответствующей союзу «и» естественного языка, выглядит следующим образом:

A	В	A^B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов. В технических приложениях операция конъюнкции называется логическим умножением. Эту операцию можно проиллюстрировать работой следующей электрической цепи (рис. 1.2).

Таблица истинности для операции дизъюнкции (аналог в естественном языке – союз «или») выглядит следующим образом:

А	В	AB
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

В технических приложениях операцию дизъюнкции называют логическим сложением. Простейшая электрическая цепь, иллюстрирующая эту операцию, имеет вид ( рис. 1.3).

В отдельных технических дисциплинах (а иногда и в математических теориях) используют и исключающее «или», приводящее к операции «альтернативная дизъюнкция», которую обозначают «+₂» (а также « », « »). Примером такой операции в математике является сложение по модулю 2. Результаты операций A B и A B отличны лишь в одной ситуации: когда A = 1 и B = 1 одновременно.

Таблица истинности для операции альтернативной дизъюнкции выглядит следующим образом:

А	В	A B
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Э

Рис. 1.4

ту операцию можно проиллюстрировать работой следующей электрической цепи (рис.1.4).

Таблица истинности для операции импликации (ближайший аналог в естественном языке – оборот «если..., то...») такова:

A	В	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Соответствующая электрическая цепь имеет вид (рис. 1.5).

П

Рис. 1.5

риведем таблицу истинности для эквивалентности (соответствует оборотам естественного языка типа «тогда и только тогда, когда...», «для того, чтобы..., необходимо и достаточно...» и др.):

A	В	A B
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Электрическая цепь, реализующая операцию эквивалентности, имеет вид (рис. 1.6)

П

Рис. 1.6

онятие формулы алгебры логики (высказываний) определим следующим образом:

1) пропозициональная переменная есть формула;

2) если А и В – формулы, то

– формулы;

3) других формул, кроме построенных по пп. 1, 2, нет.

Подформулой формулы А называется любая ее часть, которая сама является формулой.

Каждая формула может интерпретироваться как функция, определенная на множестве В, со значениями в этом же множестве, полученная из по правилам построения данной формулы. Значением формулы А при данных значениях переменных во множестве В называется значение функции, соответствующей формуле А, при этих значениях переменных.

Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение 1 (0).

Формула называется тождественно-истинной, или тавтологией (тождественно-ложной, или противоречием), если эта формула принимает значение 1 (0) при всех наборах значений переменных.