1 Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

_{15. Разрешимость арифметики сложения ЗАНЯТО}

_{1. Разобрать такие основополагающие понятия математической логики, как геделева нумерация и разрешимое множество.}

_{2. Доказать неразрешимость арифметики со сложением и умножением.}

_{3. Доказать разрешимость арифметики со сложением, без умножения.}

4. Решить задачи 1-3 из упражнения на стр. 152 в книге [2].

Литература

1. Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

_{2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1971.}

16. Логика второго порядка и определимость в арифметике ЗАНЯТО

1. Изучить основные понятия логики второго порядка и проанализировать ее главные отличия от логики первого порядка.

2. Рассмотреть понятие определимого в теории множества и исследовать проблему определимости множеств предложений первого порядка, истинных в стандартной модели арифметики.

3. Рассмотреть введенный П. Коэном метод вынуждения и доказать с его помощью теорему Дж. Аддисона о неопределимости в арифметике класса множеств, определимых в арифметике.

4. Решить задачи 18.3,18.4 из упражнения на стр. 272-273 и задачи 20.1-20.5 из упражнения на стр. 289 в книге [1].

Литература

1. Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

17. Логика второго порядка и определимость в арифметике (вариант-2)

1. Изучить основные понятия логики второго порядка и проанализировать ее главные отличия от логики первого порядка.

2. Рассмотреть понятие определимого в теории множества и исследовать проблему определимости множеств предложений первого порядка, истинных в стандартной модели арифметики.

3. Рассмотреть введенный П. Коэном метод вынуждения и доказать с его помощью теорему Дж. Аддисона о неопределимости в арифметике класса множеств, определимых в арифметике.

4. Решить задачи 18.1,18.2 из упражнения на стр. 272-273 и задачи 20.6-20.10 из упражнения на стр. 289 в книге [1].

Литература

1. Булос Дж., Джеффри р. Вычислимость и логика. – м.: Мир, 1994.

18. Метод ультрапроизведений в теории моделей (вариант-1)

1. Изучить такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, разобрать примеры теорий.

2. Рассмотреть понятие фильтра над множеством и доказать основные свойства фильтров.

3. Рассмотреть понятие фильтрованного произведения алгебраических систем и доказать основную теорему об ультрапроизведениях.

4. Разобрать такие приложения основной теоремы об ультрапроизведениях, как теорема компактности, характеризация элементарного класса алгебраических систем и другие.

5. Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп.

6. Решить задачи 1.4.1, 1.4.2, 1.4.9, 1.4.16 на стр.62, 4.1.1-4.1.6 на стр.207 в [1].

Литература

1. Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. – М.: Мир, 1977.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979.

19. Метод ультрапроизведений в теории моделей (вариант-2)

1. Изучить такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, разобрать примеры теорий.

2. Рассмотреть понятие фильтра над множеством и доказать основные свойства фильтров.

3. Рассмотреть понятие фильтрованного произведения алгебраических систем и доказать основную теорему об ультрапроизведениях.

4. Разобрать такие приложения основной теоремы об ультрапроизведениях, как теорема компактности, характеризация элементарного класса алгебраических систем и другие.

5. Рассмотреть приложения теоремы Силова и примеры силовских подгрупп.

6. Решить задачи 4.1.12-4.1.14 на стр.207 в [1], а также задачи 1-4 на стр. 125-126 в [2].

Литература

1. Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. – М.: Мир, 1977.

2. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. – М.: Наука, 1979.

_{20. Теорема Геделя о неполноте формальной арифметики}

_{1. Изучить постановку задачи о неполноте формальной арифметики.}

_{2. Рассмотреть начальные понятия теории алгоритмов и примеры их применения.}

3. Доказать простейшие критерии неполноты.

_{4. Изучить основы формальной арифметики и доказать семантическую формулировку теоремы Геделя о ее неполноте.}

5. Разобрать все примеры и восстановить все пропущенные доказательства в [1].

_{Литература:}

_{1. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. – М.: Наука, 1982.}

_{21. Разрешимые и неразрешимые аксиоматические теории}

1. Разобрать такие основополагающие понятия теории моделей, как язык узкого исчисления предикатов (УИП) и его интерпретация в моделях, рассмотреть известные конструкции над алгебраическими системами.

_{2. Изучить методы доказательства разрешимости и неразрешимости теорий.}

_{3. Рассмотреть известные примеры доказательства разрешимости и неразрешимости аксиоматических теорий.}

_{4. Разобрать решения всех примеров из литературных источников [1],[2].}